Infinito

No es en el firmamento estrellado,

ni en el esplendor de las corolas

donde se ve en toda su perfección

la revelación

de lo infinito en lo finito

-motivo de toda creación-,

sino en el alma humana.

Rabindrânath Tagore.

Sâdhanâ

Infinito en cómics

El infinito en un mazo de cartas ....

El infinito en un mazo de cartas

Las matemáticas no dejan de sorprender y en este caso se trata de las propabilidades. Para muestra un botón con este pequeño ejemplo (y no por esto menos ilustrativo) de todo lo que se pone en juego con un mazo de cartas, ¡casi nada!

Nunca olvidar .... nuestra escuela

10 puntos para entender los números Reales ( IR ) - 2do. Medio - Escuela Francisco Varela

INFINITOS por todas partes ....

por Claudio Escobar Cáceres
Departamento de Matemáticas
Escuela Francisco Varela

en construcción .....

"Dios creó los números,

el resto es obra del ser humano"

(Leopold Kronecker)

0)
Los matemáticos distinguen varios tipos de números, con propiedades diferentes. Lo que realmente importa no son los números individuales, sino el sistema al que pertenecen: la compañía en la que están.

Algunos de estos sistemas o conjuntos numéricos son:

IN: Naturales.
Los números de contar, esos que "vemos en la naturaleza"
IN = {1,2,3,4,5,.....}
Son infinitos, tienen un primer número, pero no un final.
- - - - - - - - - -
INo: Cardinales.
Son los Naturales agregados del cero.
INo = {0,1,2,3,4,5, .....}
Son también infinitos, tienen un primer número, pero tampoco un final.
Este conjunto numérico, contiene al anterior.
- - - - - - - - - -
Z: Enteros.
Son los naturales, más los naturales con signo negativo, más el cero.
Z = { .... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .... }
Son infinitos, no tienen principio ni fin.
Z contiene a IN, Z contiene a INo
- - - - - - - - - -
Q: Racionales.
(acá hay fracciones y decimales, aunque NO todos los decimales, porque algunos decimales son de otro tipo: Irracionales)
Q contiene todas las fracciones, positivas y negativas. También contiene a todos los enteros, porque cada entero se puede poner como fracción, simplemente dividiendo por 1.

0 = 0/1

7 = 7/1

-893 = -893/1

Q = { .... -5, -9/2, -4, -3, -2, -3/2, -1, -1/3, 0, 1, 2/3, 2, 3, 4, 5, 11/2, .... }
Nuevamente Q contiene a Z, Q contiene a INo, Q contiene a IN.

Hasta acá conocemos, por lo general, hasta 1ro. medio.

Pero aparece otro Conjunto, los Irracionales .... Los irracionales NO contienen a ninguno de los anteriores conjuntos ....

Los racionales unidos a los irracionales conforman un conjunto mayor llamado Los Reales.

Veamos esto en un esquema:

Pero OJO Piojo:
============
IR contiene a Q
IR contiene a Q*
IR contiene a Z
IR contiene a INo
IR contiene a IN
Q* NO contiene a ninguno de los otros Conjuntos Numéricos!

Y como diagramas de Venn, pero en Brasileiro, ja ja ja !!!!

1) 

Los números Reales ( IR ), están formados por la unión de dos conjuntos: Los Racionales ( Q ) y los Irracionales ( Q* ).

es decir,

IR = Q  U  Q*.

Q: Racionales:
Son aquellos que se pueden escribir como fracción. Incluye a los decimales finitos, los periódicos y los semiperiódicos.

ejemplos:
2,3 (Finito) ;
-3,185 (Otro Finito) ;
0,33333..... (Periódico) ;
-5/8 ;
0,6666.....(Otro periódico) ;
-1/3 ;
2,7891212121212.... (Semiperiódico) ....

Q*: Irracionales:
Son aquellos que NO se pueden escribir como fracción, poseen un desarrollo decimal infinito en el cuál jamás se repite algún tipo de período.

ejemplos:

Al conjunto de los Reales se le conoce también como "El Continuo" ....

Nota:
Toda fracción puede escribirse como decimal, PERO
NO TODO decimal puede escribirse como fracción.

2) 
Los números Reales, dijimos, se forman por la unión de los Racionales (Q) y los Irracionales (Q*).

La sola presencia de los Racionales (Q), deja incompleta la Recta Numérica, es decir, si en una recta numérica graficamos Q, que contiene como subconjuntos a IN, INo y Z, la recta estaría llena de hoyos o agujeros .... faltarían infinitos números: Faltarían los Irracionales !!!!

¿ Qué cree Ud., son más los Racionales(Q) o los Irracionales(Q*) ?

3)
Hasta IN, INo, Z y Q, los conjuntos numéricos se llaman ENUMERABLES, porque se pueden hacer corresponder biunívocamente (uno a uno) con los números Naturales (IN) o de contar.

De allí en adelante, es decir, Tanto los Irracionales (Q*), como los Reales ( IR), hablamos de Conjuntos Numéricos NO Enumerables, porque no se pueden hacer corresponder biunívocamente con los Naturales ( IN ).

Esto lo descubrió o al menos lo demostró Cantor.

4)
George Cantor (1845 - 1918): Matemático alemán, de origen ruso, creador de la Teoría Axiomática de Conjuntos, y el primero capaz de expresar formalmente en lenguaje matemático la idea o noción de INFINITO, bajo la forma de un nuevo conjunto numérico, los números Transfinitos.

Las ideas de Cantor acerca del infinito recibieron una crítica generalizada que tal vez agravó su tendencia crónica a la depresión, lo que a su vez le llevó muchas veces a estar internado. Sin embargo su obra se hizo trascendente y fundamental para las matemáticas actuales.

El matemático David Hilbert describió el trabajo de Cantor como "el producto más depurado de genio matemático y uno de los mayores logros de la actividad intelectual pura".
5)
Los números Racionales (Q) son infinitos y también lo son los Reales (R); sin embargo, hay más números Reales que Racionales. Georg Cantor, matemático del siglo XIX, fue el pionero en investigar esta aparente paradoja, remeciendo las bases de la matemática que se conocía al momento: al afirmar que existen distintos tipos de infinitos: algunos mayores que otros.

6)

Infinito: ¡ La PARTE igual al TODO !

Entre los años 1870 y 1880 Cantor y Dedekind iban a operar un cambio REVOLUCIONARIO.
De aquello que se había siempre pensado una imposibilidad: que la parte sea igual al todo, ellos hicieron una propiedad.

Ellos mostraron utilizando la correspondencia biunívoca, que el conjunto de los naturales ( IN: Números de contar ) es tan grande como los pares, por ejemplo, porque se puede hacer una correspondencia biunívoca entre los Naturales y los Pares (o impares).

El Conjunto de los Naturales ya no es mayor que el conjunto de los Pares, o de los Impares.

A este conjunto enumerado (hecho corresponder numéricamente con los naturales) se le llama Infinito Numerable o Enumerable o a veces Infinito Discreto.

De igual forma demostró Cantor que hay tabtos Naturales como Enteros (Z) y Racionales (Q).

¿Pero hay solamente un tipo de Infinito?

¿No se podría, en el infinito, ir más allá de los numerable?

En la imagen, una intervención artística personal a la obra de Max Ernst.

7)
¿Es el numerable el único infinito?

Cantor responde que NO.

La potencia de los números Reales es mayor que el numerable.

En efecto es imposible construir una correspondencia biunívoca entre IN y R.

Es decir, hay infinitamente más puntos en la Recta Numérica que números Naturales (o Cardinales o Enteros, o Racionales).

Tenemos dos Infinitos:

1) El numerable ( IN; INo; Z; Q)
2) el de IR, denominado "El Continuo".

Pero cuidado, de nuevo, por más asombro que le cause: No hay más puntos en todo IR, que en el segmento [0,1].

Pero, ¿Hay otros infinitos más allá del Numerable y del Continuo?

8)
Cantor dice que SÍ, que hay otros infinitos más grandes .... Dice que el conjunto de las partes de un conjunto A, tiene una potencia superior.

El conjunto de todos los subconjunto de IR, posee una INFINITUD MAYOR ....

Podemos partir de IN, luego seguir con Z, Q, Q* y construir sus conjuntos de subconjuntos ....

Hay una infinidad de infinitos.

9)
Dos tipos de Infinitos:

Así:

IN: Naturales: Alfa Cero (Infinito Numerable)
INo: Cardinales: Alfa Cero (Infinito Numerable)
Z: Enteros: Alfa Cero (Infinito Numerable)
Q: Racionales: Alfa Cero (Infinito Numerable)
------------------------------------------------------------
Q*: Irracionales: Alfa 1 (Infinito No Numerable)
IR: Reales: Alfa 1 (Infinito No Numerable)

10)

El infinito que a mi me gusta ....

Katsushika Hokusai, uno de los artistas japoneses más conocidos a nivel mundial, realizó cerca de treinta mil obras de arte a lo largo de su carrera. Aunque su estilo dista mucho del arte tradicional japonés, su obra es clave en las historia de la producción artística de este país.

Hokusai nació en 1760, en el seno de una familia de artesanos en la provincia japonesa de Edo. Comenzó a pintar desde que tenía seis años, muy probablemente bajo la tutela de su padre, cuyo trabajo era hacer espejos y decorar los marcos con meticulosas ornamentas. En 1779 publicó sus primeras piezas de ukiyo-e –estampas japonesas que mostraban distintas costumbres– como parte de una serie de impresos sobre teatro Kabuki. Durante su primera etapa creativa su estilo se regía por la tradición japonesa, tanto en técnica como en temática, pero a finales del siglo XVIII adquirió varios grabados calcográficos en cobre hechos en Francia y Holanda, que lo llevaron a explorar con diferentes estilos de Occidente. Esto influyó en los temas que trataba en sus obras, se alejó de los actores Kabuki y los cortesanos para enfocarse en el paisaje y en imágenes cotidianas de la vida en Japón, un cambio fundamental tanto para el artistas como para el género ukiyo-e. 
La obra más famosa de Hokusai es Treinta y seis vistas del Monte Fuji, una serie de 36 xilografías realizadas entre 1831 y 1833. En una segunda publicación se añadieron diez xilografías más a la serie en las que el artista japonés retrata al Monte Fuji desde diferentes perspectivas y en distintas condiciones climáticas. 

La gran ola de Kanagawa, también conocida como La gran ola, es la pieza más reconocida de la serie y de la carrera de Hokusai. De ésta se realizaron miles de copias, y varias llegaron a manos de coleccionistas europeos. A partir de la década de 1870, La gran ola se volvió muy popular entre artistas y coleccionistas franceses.

Georg Cantor y la Teoría de Conjuntos - 2do. Medio (Los Secretos del Infinito, libro)

Georg Cantor fue un amtemático alemán de origen ruso, inventor con Dedeking y Frege de la Teoría de Conjuntos, base de las matemáticas modernas. Con sus investigaciones sobre los conjuntos infinitos, fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos.

En 1874 apareció el primer trabajo de Cantor sobre la Teoría de Conjuntos. Cantor descubrió que los cojuntos infinitos no tienen siempre el mismo tamaño: existen varios infinitos, unos más grandes que otros.

El conjunto que todos conocemos es el conjunto de los números naturales, compuesto por la sucesión 1,2,3,4,5, .... Pero estos conjuntos de números, tienen una cantidad limitada de elementos o, por el contrario, su cantidad es inconmensurable.

Lo primero que encontró Cantor es que el conjunto de los números naturales está compuesto por otros conjuntos que tienen igual número de elementos que este. Por ejemplo el subconjunto de los números pares contiene la misma cantidad de elementos que la serie de números naturales. Si establecemos una correspondencia entre los elementos del conjunto de los números pares y los del conjunto de los números naturales, veremos que para cada número entero natural, hay otro número entero par. Esto significa, en primer lugar que el conjunto de los números naturales es un conjunto infinito, que es aquel en el que una de sus partes es también infinita, dado que los pares son un conjunto que es una parte de los naturales y es infinito.

Sin embargo Cantor encontró que hay conjuntos que no se corresponden uno a uno con los naturales, sino que, por el contrario, lo superan, por lo que se dedujo algo así como que algunos conjuntos son más infinitos que otros. Para designar este descubrimiento inventó el concepto de los números transfinitos, que sirven para indicar el grado de infinitud de un conjunto. Así sabemos que el infinito tiene grados, variaciones, que a la vez son de diferente infinitud en extensión y que conjuntos infinitos son partes de infinitos mayores que los engloban y los superan. Para indicar estos grados de infinitud de conjuntos infinitos se utiliza el álef, la primera letra del alfabeto griego.

El estudio de los infinitos fue calificado por su maestro Kronecker de locura metamática. La resistencia que encontró su teoría y el intento vano de establecer la hipótesis del continuo (indemostrable en la teoría de conjuntos) agotaron al matemático, y hacia 1884 aparecieron los primeros signos de una enfermedad mental que se manifestó episódicamente hasta su muerte en el hospital psiquiátrico.

Del teorema de Cantor se establece que para todo infinito hay u n infinito mayor, y que , por tanto, hay una infinidad de infinitos.

El libro de Arena - Un cuento de Borges MUY Matemático

Totalmente matemático ....

En el libro de arena, Borges nos muestra un infinito que escapa de cualquier regla.

Nos cuenta de en torno a un misterioso libro que recibe en manos de un extraño. La metáfora es simple: es un libro que como la arena no tiene ni principio ni fin: por ejemplo, el número de sus páginas, es así de simple: infinito.

La numeración de sus páginas NO es en la forma tradicional, es decir, no es correlativa y una vez que visitas una página ES IMPOSIBLE volver a encontrarla .... !!!!

El libro -que siendo infinito en páginas no lo es ni en volumen ni en peso- termina convirtiéndose en una obsesión .... 

a por él:

El libro de arena

Jorge Luis Borges 

...thy rope of sands...
George Herbert (1593-1623)

La línea consta de un número infinito de puntos; el plano, de un número infinito de líneas; el volumen, de un número infinito de planos; el hipervolumen, de un número infinito de volúmenes... No, decididamente no es éste, more geométrico, el mejor modo de iniciar mi relato. Afirmar que es verídico es ahora una convención de todo relato fantástico; el mío, sin embargo, es verídico.

Yo vivo solo, en un cuarto piso de la calle Belgrano. Hará unos meses, al atardecer, oí un golpe en la puerta. Abrí y entró un desconocido. Era un hombre alto, de rasgos desdibujados. Acaso mi miopía los vio así. Todo su aspecto era de pobreza decente. Estaba de gris y traía una valija gris en la mano. En seguida sentí que era extranjero. Al principio lo creí viejo; luego advertí que me había engañado su escaso pelo rubio, casi blanco, a la manera escandinava. En el curso de nuestra conversación, que no duraría una hora, supe que procedía de las Orcadas.

Le señalé una silla. El hombre tardó un rato en hablar.
Exhalaba melancolía, como yo ahora.

-Vendo biblias -me dijo.

No sin pedantería le contesté:

-En esta casa hay algunas biblias inglesas, incluso la primera, la de John Wiclif. Tengo asimismo la de Cipriano de Valera, la de Lutero, que literariamente es la peor, y un ejemplar latino de la Vulgata. Como usted ve, no son precisamente biblias lo que me falta.

Al cabo de un silencio me contestó:

-No sólo vendo biblias. Puedo mostrarle un libro sagrado que tal vez le interese. Lo adquirí en los confines de Bikanir.

Abrió la valija y lo dejó sobre la mesa. Era un volumen en octavo, encuadernado en tela. Sin duda había pasado por muchas manos. Lo examiné; su inusitado peso me sorprendió. En el lomo decía Holy Writ y abajo Bombay.

-Será del siglo diecinueve -observé.

-No sé. No lo he sabido nunca -fue la respuesta.

Lo abrí al azar. Los caracteres me eran extraños. Las páginas, que me parecieron gastadas y de pobre tipografía, estaban impresas a dos columnas a la manera de una biblia. El texto era apretado y estaba ordenado en versículos. En el ángulo superior de las páginas había cifras arábigas. Me llamó la atención que la página par llevara el número (digamos) 40.514 y la impar, la siguiente, 999. La volví; el dorso estaba numerado con ocho cifras. Llevaba una pequeña ilustración, como es de uso en los diccionarios: un ancla dibujada a la pluma, como por la torpe mano de un niño.

Fue entonces que el desconocido me dijo:

-Mírela bien. Ya no la verá nunca más.

Había una amenaza en la afirmación, pero no en la voz.

Me fijé en el lugar y cerré el volumen. Inmediatamente lo abrí.

En vano busqué la figura del ancla, hoja tras hoja. Para ocultar mi desconcierto, le dije:

-Se trata de una versión de la Escritura en alguna lengua indostánica, ¿no es verdad?

-No -me replicó.

Luego bajó la voz como para confiarme un secreto:

-Lo adquirí en un pueblo de la llanura, a cambio de unas rupias y de la Biblia. Su poseedor no sabía leer. Sospecho que en el Libro de los Libros vio un amuleto. Era de la casta más baja; la gente no podía pisar su sombra, sin contaminación. Me dijo que su libro se llamaba el Libro de Arena, porque ni el libro ni la arena tienen principio ni fin.

Me pidió que buscara la primera hoja.

Apoyé la mano izquierda sobre la portada y abrí con el dedo pulgar casi pegado al índice. Todo fue inútil: siempre se interponían varias hojas entre la portada y la mano. Era como si brotaran del libro.

-Ahora busque el final.

También fracasé; apenas logré balbucear con una voz que no era la mía:

-Esto no puede ser.

Siempre en voz baja el vendedor de biblias me dijo:

-No puede ser, pero es. El número de páginas de este libro es exactamente infinito. Ninguna es la primera; ninguna, la última. No sé por qué están numeradas de ese modo arbitrario. Acaso para dar a entender que los términos de una serie infinita aceptan cualquier número.

Después, como si pensara en voz alta:

-Si el espacio es infinito estamos en cualquier punto del espacio. Si el tiempo es infinito estamos en cualquier punto del tiempo.

Sus consideraciones me irritaron. Le pregunté:

-¿Usted es religioso, sin duda?

-Sí, soy presbiteriano. Mi conciencia está clara. Estoy seguro de no haber estafado al nativo cuando le di la Palabra del Señor a trueque de su libro diabólico.

Le aseguré que nada tenía que reprocharse, y le pregunté si estaba de paso por estas tierras. Me respondió que dentro de unos días pensaba regresar a su patria. Fue entonces cuando supe que era escocés, de las islas Orcadas. Le dije que a Escocia yo la quería personalmente por el amor de Stevenson y de Hume.

-Y de Robbie Burns -corrigió.

Mientras hablábamos, yo seguía explorando el libro infinito. Con falsa indiferencia le pregunté:

-¿Usted se propone ofrecer este curioso espécimen al Museo Británico?

-No. Se le ofrezco a usted -me replicó, y fijó una suma elevada.

Le respondí, con toda verdad, que esa suma era inaccesible para mí y me quedé pensando. Al cabo de unos pocos minutos había urdido mi plan.

-Le propongo un canje -le dije-. Usted obtuvo este volumen por unas rupias y por la Escritura Sagrada; yo le ofrezco el monto de mi jubilación, que acabo de cobrar, y la Biblia de Wiclif en letra gótica. La heredé de mis padres.

-A black letter Wiclif! -murmuró.

Fui a mi dormitorio y le traje el dinero y el libro. Volvió las hojas y estudió la carátula con fervor de bibliófilo.

-Trato hecho -me dijo.

Me asombró que no regateara. Sólo después comprendería que había entrado en mi casa con la decisión de vender el libro. No contó los billetes, y los guardó.

Hablamos de la India, de las Orcadas y de los jarls noruegos que las rigieron. Era de noche cuando el hombre se fue. No he vuelto a verlo ni sé su nombre.

Pensé guardar el Libro de Arena en el hueco que había dejado el Wiclif, pero opté al fin por esconderlo detrás de unos volúmenes descalabrados de Las mil y una noches.

Me acosté y no dormí. A las tres o cuatro de la mañana prendí la luz. Busqué el libro imposible, y volví las hojas. En una de ellas vi grabada una máscara. En ángulo llevaba una cifra, ya no sé cuál, elevada a la novena potencia.

No mostré a nadie mi tesoro. A la dicha de poseerlo se agregó el temor de que lo robaran, y después el recelo de que no fuera verdaderamente infinito. Esas dos inquietudes agravaron mi ya vieja misantropía.

Me quedaban unos amigos; dejé de verlos. Prisionero del Libro, casi no me asomaba a la calle. Examiné con una lupa el gastado lomo y las tapas, y rechacé la posibilidad de algún artificio. Comprobé que las pequeñas ilustraciones distaban dos mil páginas una de otra. Las fui anotando en una libreta alfabética, que no tardé en llenar. Nunca se repitieron. De noche, en los escasos intervalos que me concedía el insomnio, soñaba con el libro.

Declinaba el verano, y comprendí que el libro era monstruoso. De nada me sirvió considerar que no menos monstruoso era yo, que lo percibía con ojos y lo palpaba con diez dedos con uñas. Sentí que era un objeto de pesadilla, una cosa obscena que infamaba y corrompía la realidad.

Pensé en el fuego, pero temí que la combustión de un libro infinito fuera parejamente infinita y sofocara de humo al planeta.

Recordé haber leído que el mejor lugar para ocultar una hoja es un bosque. Antes de jubilarme trabajaba en la Biblioteca Nacional, que guarda novecientos mil libros; sé que a mano derecha del vestíbulo una escalera curva se hunde en el sótano, donde están los periódicos y los mapas. Aproveché un descuido de los empleados para perder el Libro de Arena en uno de los húmedos anaqueles. Traté de no fijarme a qué altura ni a qué distancia de la puerta.

Siento un poco de alivio, pero no quiero ni pasar por la calle México. 

Jorge Luis Borges 
El libro de arena (1975) 

Miren la tremenda invitación ....

Cantor nos introdujo hacia algunas paradojas a ratos difíciles de comprender ....
En esta charla se ahondará en esas paradojas ....

Por ejemplo mencionemos aunque sea una de ellas:

1) Puedes creer que en la recta numérica, entre el cero y el uno, hay tantos infinitos números (Reales) como los hay en TODA la recta numérica .... ¿Cómo es esto posible si los números que hay entre 0 y 1, son un subconjunto de toda la recta numérica? ....

2) ¡Pueden haber infinitos más grandes que otros? Por ejemplo: el conjunto infinito de los números Naturales (lo de contar), es menor en tamaño que el Conjunto Infinito de los Reales ....