por Claudio Escobar Cáceres
Departamento de Matemáticas
Escuela Francisco Varela
en construcción .....
"Dios creó los números,
el resto es obra del ser humano"
(Leopold Kronecker)
0)
Los matemáticos distinguen varios tipos de números, con propiedades diferentes. Lo que realmente importa no son los números individuales, sino el sistema al que pertenecen: la compañía en la que están.
Algunos de estos sistemas o conjuntos numéricos son:
IN: Naturales.
Los números de contar, esos que "vemos en la naturaleza"
IN = {1,2,3,4,5,.....}
Son infinitos, tienen un primer número, pero no un final.
- - - - - - - - - -
INo: Cardinales.
Son los Naturales agregados del cero.
INo = {0,1,2,3,4,5, .....}
Son también infinitos, tienen un primer número, pero tampoco un final.
Este conjunto numérico, contiene al anterior.
- - - - - - - - - -
Z: Enteros.
Son los naturales, más los naturales con signo negativo, más el cero.
Z = { .... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .... }
Son infinitos, no tienen principio ni fin.
Z contiene a IN, Z contiene a INo
- - - - - - - - - -
Q: Racionales.
(acá hay fracciones y decimales, aunque NO todos los decimales, porque algunos decimales son de otro tipo: Irracionales)
Q contiene todas las fracciones, positivas y negativas. También contiene a todos los enteros, porque cada entero se puede poner como fracción, simplemente dividiendo por 1.
0 = 0/1
7 = 7/1
-893 = -893/1
Q = { .... -5, -9/2, -4, -3, -2, -3/2, -1, -1/3, 0, 1, 2/3, 2, 3, 4, 5, 11/2, .... }
Nuevamente Q contiene a Z, Q contiene a INo, Q contiene a IN.
Hasta acá conocemos, por lo general, hasta 1ro. medio.
Pero aparece otro Conjunto, los Irracionales .... Los irracionales NO contienen a ninguno de los anteriores conjuntos ....
Los racionales unidos a los irracionales conforman un conjunto mayor llamado Los Reales.
Veamos esto en un esquema:
============
IR contiene a Q
IR contiene a Q*
IR contiene a Z
IR contiene a INo
IR contiene a IN
Q* NO contiene a ninguno de los otros Conjuntos Numéricos!
Y como diagramas de Venn, pero en Brasileiro, ja ja ja !!!!
1)
Los números Reales ( IR ), están formados por la unión de dos conjuntos: Los Racionales ( Q ) y los Irracionales ( Q* ).
es decir,
IR = Q U Q*.
Q: Racionales:
Son aquellos que se pueden escribir como fracción. Incluye a los decimales finitos, los periódicos y los semiperiódicos.
ejemplos:
2,3 (Finito) ;
-3,185 (Otro Finito) ;
0,33333..... (Periódico) ;
-5/8 ;
0,6666.....(Otro periódico) ;
-1/3 ;
2,7891212121212.... (Semiperiódico) ....
Q*: Irracionales:
Son aquellos que NO se pueden escribir como fracción, poseen un desarrollo decimal infinito en el cuál jamás se repite algún tipo de período.
ejemplos:
Al conjunto de los Reales se le conoce también como "El Continuo" ....
Nota:
Toda fracción puede escribirse como decimal, PERO
NO TODO decimal puede escribirse como fracción.
2)
Los números Reales, dijimos, se forman por la unión de los Racionales (Q) y los Irracionales (Q*).
La sola presencia de los Racionales (Q), deja incompleta la Recta Numérica, es decir, si en una recta numérica graficamos Q, que contiene como subconjuntos a IN, INo y Z, la recta estaría llena de hoyos o agujeros .... faltarían infinitos números: Faltarían los Irracionales !!!!
¿ Qué cree Ud., son más los Racionales(Q) o los Irracionales(Q*) ?
3)
Hasta IN, INo, Z y Q, los conjuntos numéricos se llaman ENUMERABLES, porque se pueden hacer corresponder biunívocamente (uno a uno) con los números Naturales (IN) o de contar.
De allí en adelante, es decir, Tanto los Irracionales (Q*), como los Reales ( IR), hablamos de Conjuntos Numéricos NO Enumerables, porque no se pueden hacer corresponder biunívocamente con los Naturales ( IN ).
Esto lo descubrió o al menos lo demostró Cantor.
4)
George Cantor (1845 - 1918): Matemático alemán, de origen ruso, creador de la Teoría Axiomática de Conjuntos, y el primero capaz de expresar formalmente en lenguaje matemático la idea o noción de INFINITO, bajo la forma de un nuevo conjunto numérico, los números Transfinitos.
Las ideas de Cantor acerca del infinito recibieron una crítica generalizada que tal vez agravó su tendencia crónica a la depresión, lo que a su vez le llevó muchas veces a estar internado. Sin embargo su obra se hizo trascendente y fundamental para las matemáticas actuales.
El matemático David Hilbert describió el trabajo de Cantor como "el producto más depurado de genio matemático y uno de los mayores logros de la actividad intelectual pura".
5)
Los números Racionales (Q) son infinitos y también lo son los Reales (R); sin embargo, hay más números Reales que Racionales. Georg Cantor, matemático del siglo XIX, fue el pionero en investigar esta aparente paradoja, remeciendo las bases de la matemática que se conocía al momento: al afirmar que existen distintos tipos de infinitos: algunos mayores que otros.
6)
Infinito: ¡ La PARTE igual al TODO !
Entre los años 1870 y 1880 Cantor y Dedekind iban a operar un cambio REVOLUCIONARIO.
De aquello que se había siempre pensado una imposibilidad: que la parte sea igual al todo, ellos hicieron una propiedad.
Ellos mostraron utilizando la correspondencia biunívoca, que el conjunto de los naturales ( IN: Números de contar ) es tan grande como los pares, por ejemplo, porque se puede hacer una correspondencia biunívoca entre los Naturales y los Pares (o impares).
A este conjunto enumerado (hecho corresponder numéricamente con los naturales) se le llama Infinito Numerable o Enumerable o a veces Infinito Discreto.
De igual forma demostró Cantor que hay tabtos Naturales como Enteros (Z) y Racionales (Q).
¿Pero hay solamente un tipo de Infinito?
¿No se podría, en el infinito, ir más allá de los numerable?
En la imagen, una intervención artística personal a la obra de Max Ernst.
7)
¿Es el numerable el único infinito?
Cantor responde que NO.
La potencia de los números Reales es mayor que el numerable.
En efecto es imposible construir una correspondencia biunívoca entre IN y R.
Es decir, hay infinitamente más puntos en la Recta Numérica que números Naturales (o Cardinales o Enteros, o Racionales).
Tenemos dos Infinitos:
1) El numerable ( IN; INo; Z; Q)
2) el de IR, denominado "El Continuo".
Pero cuidado, de nuevo, por más asombro que le cause: No hay más puntos en todo IR, que en el segmento [0,1].
Pero, ¿Hay otros infinitos más allá del Numerable y del Continuo?
8)
Cantor dice que SÍ, que hay otros infinitos más grandes .... Dice que el conjunto de las partes de un conjunto A, tiene una potencia superior.
El conjunto de todos los subconjunto de IR, posee una INFINITUD MAYOR ....
Podemos partir de IN, luego seguir con Z, Q, Q* y construir sus conjuntos de subconjuntos ....
Hay una infinidad de infinitos.
9)
Dos tipos de Infinitos:
IN: Naturales: Alfa Cero (Infinito Numerable)
INo: Cardinales: Alfa Cero (Infinito Numerable)
Z: Enteros: Alfa Cero (Infinito Numerable)
Q: Racionales: Alfa Cero (Infinito Numerable)
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Q*: Irracionales: Alfa 1 (Infinito No Numerable)
IR: Reales: Alfa 1 (Infinito No Numerable)
10)
El infinito que a mi me gusta ....
Katsushika Hokusai, uno de los artistas japoneses más conocidos a nivel mundial, realizó cerca de treinta mil obras de arte a lo largo de su carrera. Aunque su estilo dista mucho del arte tradicional japonés, su obra es clave en las historia de la producción artística de este país.
Hokusai nació en 1760, en el seno de una familia de artesanos en la provincia japonesa de Edo. Comenzó a pintar desde que tenía seis años, muy probablemente bajo la tutela de su padre, cuyo trabajo era hacer espejos y decorar los marcos con meticulosas ornamentas. En 1779 publicó sus primeras piezas de ukiyo-e –estampas japonesas que mostraban distintas costumbres– como parte de una serie de impresos sobre teatro Kabuki. Durante su primera etapa creativa su estilo se regía por la tradición japonesa, tanto en técnica como en temática, pero a finales del siglo XVIII adquirió varios grabados calcográficos en cobre hechos en Francia y Holanda, que lo llevaron a explorar con diferentes estilos de Occidente. Esto influyó en los temas que trataba en sus obras, se alejó de los actores Kabuki y los cortesanos para enfocarse en el paisaje y en imágenes cotidianas de la vida en Japón, un cambio fundamental tanto para el artistas como para el género ukiyo-e.
La obra más famosa de Hokusai es Treinta y seis vistas del Monte Fuji, una serie de 36 xilografías realizadas entre 1831 y 1833. En una segunda publicación se añadieron diez xilografías más a la serie en las que el artista japonés retrata al Monte Fuji desde diferentes perspectivas y en distintas condiciones climáticas.
La gran ola de Kanagawa, también conocida como La gran ola, es la pieza más reconocida de la serie y de la carrera de Hokusai. De ésta se realizaron miles de copias, y varias llegaron a manos de coleccionistas europeos. A partir de la década de 1870, La gran ola se volvió muy popular entre artistas y coleccionistas franceses.
