Georg Cantor y la Teoría de Conjuntos - 2do. Medio (Los Secretos del Infinito, libro)

Georg Cantor fue un amtemático alemán de origen ruso, inventor con Dedeking y Frege de la Teoría de Conjuntos, base de las matemáticas modernas. Con sus investigaciones sobre los conjuntos infinitos, fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos.

En 1874 apareció el primer trabajo de Cantor sobre la Teoría de Conjuntos. Cantor descubrió que los cojuntos infinitos no tienen siempre el mismo tamaño: existen varios infinitos, unos más grandes que otros.

El conjunto que todos conocemos es el conjunto de los números naturales, compuesto por la sucesión 1,2,3,4,5, .... Pero estos conjuntos de números, tienen una cantidad limitada de elementos o, por el contrario, su cantidad es inconmensurable.

Lo primero que encontró Cantor es que el conjunto de los números naturales está compuesto por otros conjuntos que tienen igual número de elementos que este. Por ejemplo el subconjunto de los números pares contiene la misma cantidad de elementos que la serie de números naturales. Si establecemos una correspondencia entre los elementos del conjunto de los números pares y los del conjunto de los números naturales, veremos que para cada número entero natural, hay otro número entero par. Esto significa, en primer lugar que el conjunto de los números naturales es un conjunto infinito, que es aquel en el que una de sus partes es también infinita, dado que los pares son un conjunto que es una parte de los naturales y es infinito.

Sin embargo Cantor encontró que hay conjuntos que no se corresponden uno a uno con los naturales, sino que, por el contrario, lo superan, por lo que se dedujo algo así como que algunos conjuntos son más infinitos que otros. Para designar este descubrimiento inventó el concepto de los números transfinitos, que sirven para indicar el grado de infinitud de un conjunto. Así sabemos que el infinito tiene grados, variaciones, que a la vez son de diferente infinitud en extensión y que conjuntos infinitos son partes de infinitos mayores que los engloban y los superan. Para indicar estos grados de infinitud de conjuntos infinitos se utiliza el álef, la primera letra del alfabeto griego.

El estudio de los infinitos fue calificado por su maestro Kronecker de locura metamática. La resistencia que encontró su teoría y el intento vano de establecer la hipótesis del continuo (indemostrable en la teoría de conjuntos) agotaron al matemático, y hacia 1884 aparecieron los primeros signos de una enfermedad mental que se manifestó episódicamente hasta su muerte en el hospital psiquiátrico.

Del teorema de Cantor se establece que para todo infinito hay u n infinito mayor, y que , por tanto, hay una infinidad de infinitos.