En torno a la geometría ....

Desafío - Teorema de Pitágoras - 7mo a 2do. Medio (Ejercicio Propuesto)

¿Hay otros tipos de GEOMETRIA además de la Plana o de Euclides?

Siiiiiiiiiiiii !!!!!

Hay otros tipos de Geometría, Posteriores a la Plana o de Euclides, que fueron construyéndose poco a poco para responder a las necesidades de la ciencia, a las exigencias para comprender la naturaleza .... algunas de ellas ....

1) Geometría del Espacio o Estereometría (Contemporánea de la Plana)

2) Geometría Afín

3) Geometría Analítica

4) Geometría Descriptiva

5) Geometría Métrica

6) Geometría Integral

7) Geometría Proyectiva

8) Geometría Diferencial

9) Geometría Hiperbólica

10) Geometría Elíptica

11) Geometría Esférica

12) Geometría Fractal

¿Qué son cada una de ellas?

A veces los chicos y chicas ....

a veces los chicos y chicas del 2do.Medio Varela están imposibles!

y uno recibe muy duro

¿con qué están enojados(as)?

conmigo, con el mundo de mierda(*) que les hemos legado, con la educación de mercado, con el proceso Escuela Francisco Varela, con sus padres y madres, con los exámenes "libres" .... que de hecho no lo son ....

¿Ud. pregunta, por qué este profe habla esto?

Porque la educación es un espacio emocional ....

¿Y no será que abrir los corazones es para peor? .... Ud dirá!

Entonces uno se vuelve a hacer otra vez e inventa algo y lo atesora y sonríe su fin de semana por su trabajo hecho con tanto amor ....

No quiero que me contesten, No quiero que ninguno de nosotros sintamos alguna culpa, quiero que estudiemos en presente y nos ayudemos, cada uno poniendo lo suyo! es bien sencillo ...

Un abrazo y les mando mi trabajo modesto: QUISE PONER EN RESUMEN TEóRICO TODA LA MATERIA DE GEOMETRÍA EN UNA HOJA, 

¿Uds. creen que no se puede? (El martes la entrego impresa)

Esta hoja les ayudará a entender que con unas buenas horas de estudio TODO ES POSIBLE!, 

SOÑAR LO ES !!!!

(*) DISCULPAS POR LA EXPRESIÓN!

LINK: Materia Geometría 2do Medio Exámenes Libres

Historia de la GEOMETRIA - Tomado de Profesor en línea

Historia de la Geometría

Geometría (del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea.

Geometría demostrativa primitiva

El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos.

Pitágoras

En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios.

Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación: "una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos axiomas.

Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras).

La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro "Los elementos". El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días.

Primeros problemas geométricos

Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás. Ejemplos sencillos son la construcción de una línea recta dos veces más larga que una recta dada, o de una recta que divide un ángulo dado en dos ángulos iguales.

Tres famosos problemas de construcción que datan de la época griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos: la duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo), la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con área igual a un círculo determinado) y la trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes iguales). Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura del círculo no fue finalmente demostrada hasta 1882.

Apolonio de Perga

Los griegos, y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cónicas.

Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi, la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció que este número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.

Geometría analítica

La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Método", publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.

Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro.

Un ejemplo sencillo de geometría proyectiva queda ilustrado en la figura 1.

Si los puntos A, B, C y a, b, c se colocan en cualquier posición de una cónica, por ejemplo una circunferencia, y dichos puntos se unen A con b y c, B con c y a, y C con b y a, los tres puntos de las intersecciones de dichas líneas están en una recta.

De la misma manera, si se dibujan seis tangentes cualesquiera a una cónica, como en la figura 2, y se trazan rectas que unan dos intersecciones opuestas de las tangentes, estas líneas se cortan en un punto único.

Este teorema se denomina proyectivo, pues es cierto para todas las cónicas, y éstas se pueden transformar de una a otra utilizando las proyecciones apropiadas, como en la figura 3, que muestra que la proyección de una circunferencia es una elipse en el otro plano.

Modernos avances

Carl Fiedrich Gauss

La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes.

Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional.

János Bolyai

Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una línea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional. Aunque éste es físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad.

También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones. Esta geometría se conoce como geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es la definición de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o más dimensiones.

Arthur Cayley

En los cuatro primeros casos, las figuras son los bien conocidos punto, línea, triángulo y tetraedro respectivamente. En el espacio de cuatro dimensiones, se puede demostrar que la figura más sencilla está compuesta por cinco puntos como vértices, diez segmentos como aristas, diez triángulos como caras y cinco tetraedros. El tetraedro, analizado de la misma manera, está compuesto por cuatro vértices, seis segmentos y cuatro triángulos.

Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX. En la década de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría fractal.

Ver, además, en Internet:

http://www.uco.es/~ma1marea/profesor/primaria/geometri/matemati/indice.htm

Jugan con Construcciones Geométricas ONLINE, en Inglés básico

LINK: Geometría Online EUCLIDES

Medidas de Arco y Sector Circular - 8avo., lo que viene!

que onda con la geometría?

A los 4 añitos ....

Los niños de cuatro años ya tienen nociones de geometría euclidiana

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Un estudio liderado por investigadores de la Universidad de Harvard (EEUU) ha revelado que los niños de cuatro años poseen habilidades que podrían representar una comprensión temprana de la geometría euclidiana. El trabajo ha analizado en niños la relación entre su sentido de la orientación, su capacidad de analizar formas y su interpretación de mapas simbólicos.

Más información sobre:

geometría euclidiana

cuatro años

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PNAS

SINC | 13 agosto 2013 15:36

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Los niños que mejor manejaban distancias y direcciones ubicaron bien el peluche en el triángulo sin esquinas. / Moira Dillon

Los adultos humanos de diferentes culturas comparten intuiciones sobre puntos, líneas y figuras de la geometría euclidiana. Ya desde niños desarrollan nociones tempranas para orientarse en el espacio y analizar la forma de los objetos, pero ¿cómo llegan al pensamiento euclidiano?

Según un estudio que se presenta esta semana en la revista Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS), a los cuatro años de edad los humanos ya poseen habilidades que demuestran una comprensión temprana de la geometría euclidiana.

El trabajo, liderado por investigadores de la Universidad de Harvard, ha estudiado en niños la relación entre su sentido de la orientación, su capacidad de analizar formas y su interpretación de mapas simbólicos.

Según el artículo, muchos animales, incluidos los humanos, poseen un entendimiento innato de la geometría simple. Reconocen objetos mediante ángulos y longitudes relativas, y se desplazan por su entorno empleando nociones de distancias y direcciones. Unidas, estas dos representaciones geométricas básicas podrían formar la base del pensamiento abstracto geométrico exclusivo de los humanos.

Según este nuevo trabajo, los niños no parecen integrar tales nociones; sin embargo, sí hacen un uso flexible de la geometría abstracta en la lectura de mapas, lo que podría llevar a la posterior construcción de la geometría euclidiana.

Uno de los experimentos llevados a cabo en el estudio consistió en vendar los ojos de los niños participantes y hacer que giraran para ver cómo se orientaban, tras destaparles los ojos, en un área con forma rectangular. También se les hizo pasar un test de ordenador que evaluaba su habilidad para reconocer distintas formas geométricas.

Como animales en su hábitat

Después se situó a los niños en el centro de dos áreas con forma de triángulo. En uno de los dos escenarios del experimento, el triángulo tenía sus tres lados pero le faltaban todas las esquinas. En el otro, le faltaban los lados y solo tenía las tres esquinas. Los investigadores mostraron a todos los niños los mismos mapas para que localizaran ciertos puntos en el borde del triángulo donde debían colocar un juguete de peluche.

Moira Dillon, coautora del estudio, explica que los niños que mejor manejaban distancias y direcciones ubicaron bien el peluche en el triangulo sin esquinas. En cambio, los más hábiles en las pruebas de reconocimiento de formas geométricas en el ordenador obtuvieron resultados superiores en el triángulo compuesto solo por esquinas.

El trabajo sugiere que las habilidades geométricas tempranas son las mismas que las que usan los animales para moverse en su hábitat. Según los investigadores, en torno a los dos años y medio, los niños empiezan a ser capaces de abstraer esos principios para leer mapas adaptando a cada situación el tipo de información que emplean, como en el caso de los dos escenarios triangulares.

Referencia bibliográfica:

Moira R. Dillon, Yi Huang, Elizabeth S. Spelke. "Core foundations of abstract geometry”. Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS), 12 de agosto de 2013.

Maravillosoooooooo !!!!!!! (Colabora Daniela Saldías)

Shugo Tokumaru / Katachi from Kijek / Adamski on Vimeo.

gracias a Vimeo.

Geometría en Inglés !

Construcciones Geométricas versus Construcciones Mecánicas - 7mo.

Hay una diferencia entre las construcciones Geométricas, hechas solamente con Regla y Compás y las otras, hechas con otros instrumentos (escuadras, serchas, etc.), que son conocidas como construcciones mecánicas.

Bisectrices y Circunferencia Inscrita - 7mo. (Hoja Dinámica de Prueba con GEOGEBRA)

Construir Simetral a Trazo con Geogebra - 7mo.

Vamos a construir una SIMETRAL del trazo AC.

¿Qué es una Simetral? 1: Simetral 1
¿Qué es una Simetral? 2: Simetral

Recordamos que la Simetral a un trazo es una perpendicular en su punto medio:

Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:

Paso 4:

Paso 5: Trazamos una recta por los puntos F y G, que es la Simetral, porque pasa por el punto medio y es perpendicular al trazo AC.:

Avanza el compás .... del tiempo ....

El compás tomó forma ..... (Compás en Compás de espera)

El compás tomo forma de la madera y también de la naranja

tenía esculpida su impronta, pretérita, 

omnipresente desde mi árbol matemático imperfecto ....

"¿Qué se ama cuando se ama?"

la labranza, el desgastar los canales vetados del árbol, 

la búsqueda imperfecta de como ubicar la tiza ....

¿Qué se bisectricea cuando se bisectricea?

los grados, los dos ángulos resultantes mismísimamente congruentes

el giro loco del aspa libre sobre el pivote en el punto

la circunferencia, el semicírculo, el cuarto de arco, el giro de la bailarina ....

¿Qué se aprende cuando se habla en geometría?

la finitud del punto, la infinita longitud de la recta, la voltereta del círculo sobre sí mismo

el pizarrón, la tiza, los caminos .....

Elementos Secundarios en un triángulo - 7mo.

1)

2)

3)

4)

Juego Matemáticas (Geometría) en Inglés ....

LINK: Matemáticas en Inglés

Problema de Planteo - 5to. Básico (Problema Rutinario)

El área Total = 280 cm cuadrados (en el plano)

El área Parcial conocida = Área Jardín de Flores + Área Jardín Frutos = 6x10 + 7x7 = 60 + 49 =109

Luego: Área Jardín Yerbas = 280 - 109 = 171 cm cuadrados

Congruencia - 5to. (Ejercicio Rutinario)

Objetivo de Aprendizaje: Demostrar que comprenden el concepto de congruencia, usando la traslación, la reflexión y la rotación en cuadrículas y mediante software geométrico,