Nuevas geometrías para los nuevos paradigmas de la física.
Autor Claudio Escobar Cáceres
Área de Matemáticas
Escuela Francisco Varela
“EL UNIVERSO ES UN DRAGÓN VERDE:
Joven : ¿Por qué dice que el Universo es un dragón
verde?
Thomas : Porque me
gusta contar cuentos. Además, me parece una buena manera de empezar a hablar de
la nueva visión del cosmos.
Joven : ¿Pero, por qué decir que es un dragón verde
cuando no lo es?
Thomas : Por
varios motivos. Digo que el Universo es un dragón verde para recordarnos que
nunca podremos expresar a través de las palabras lo que es el Universo.
Joven : ¿Por qué?
Thomas
: Porque el Universo es una singularidad. Para expresarnos no podemos dejar de
hacer comparaciones. Podemos decir que tal casa es blanca, no marrón (....)
Pero sólo hay un Universo. No podemos comparar el universo con nada. No podemos
encerrarlo en palabras.
Digo que el Universo
es un dragón verde, porque no quiero caer en la tentación de pensar que podemos
controlarlo (....) Quiero que tengamos presente esta relación cuando nos
enfrentamos al Todo. Además, y éste es otro motivo para llamarlo dragón verde,
a través de las investigaciones científicas hemos hecho descubrimientos que
modifican toda nuestra imagen del Universo. El descubrimiento de Copérnico de
que la Tierra gira alrededor del sol es mínimo en comparación con la revolución
actual del pensamiento. Reconozco que comparar el Universo con un dragón verde
es una locura, pero ojalá refleje el asombro que siento ante lo que hoy en día
sabemos del Universo. En realidad, la imagen del dragón es imperfecta, porque
los dragones verdes son demasiado comunes y, por eso mismo, no reflejan en
absoluto todo el alcance de lo que hemos comprendido. Así de limitado es el
lenguaje....” (El Universo es un dragón verde, Un relato cósmico de la
creación, Brian Swimme, Sello Azul 1997)
HACIA UN NUEVO PARADIGMA:
Frijot Capra nos dice que asistimos a nivel mundial
a un CAMBIO DE PARADIGMA. Estaríamos transitando de una visión racionalista y
mecánica (paradigma científico) a otra mucho más orgánica, que no separa
nuestras conciencias de nuestros cuerpos, ni la totalidad de nuestro ser de la
totalidad del cosmos.
Esta nueva visión o sensibilidad que podríamos
llamar de "Conciencia Participativa" (Morris Bergman) nos enseña que
la concatenación universal es la ley fundamental que rige EL TODO ... algo así
como si todos danzáremos un cántico cósmico, donde TODOS SOMOS TODO ... EN TODO(S)
...
Esta nueva esperanza holística no es en verdad tan
nueva. Visiones de pueblos originarios y otras de oriente nos hablan desde hace
muchísimos años de estas cuestiones. Para ello baste recordar el sentido de
trama-de-la-vida, hermosamente expresada en la carta del Jefe Seattle:
“Esto
lo sabemos: la tierra no pertenece al hombre, sino que el hombre pertenece a la
tierra. El hombre no ha tejido la red de la vida: es sólo una hebra de ella.
Todo lo que haga a la red se lo hará a sí mismo. Lo que ocurre a la tierra
ocurrirá a los hijos de la tierra. Lo sabemos. Todas las cosas están
relacionadas como la sangre que une a una familia.”
Tod@s tenemos un desafío a enfrentar
inexorablemente: nuestra vinculación con el cosmos es un hecho tierno y sutil,
pero desafiante y concreto. Debemos ampliar nuestra reducida visión hacia otra
mayor: la dialéctica de la interconectividad ... Debemos estar despiertos para
descubrir y descubrirnos como parte de esa maravillosa trama …. de intersubjetividades.
LA CRISIS : “HABIENDO LLEGADO A SU CLÍMAX, EL
YANG SE RETIRA EN FAVOR DEL YIN ....” :
“El progreso
humano, ha sido un asunto casi puramente racional e intelectual, y esta
evolución unilateral ha llegado a un grado de sobremanera alarmante; una
situación tan paradojal que linda con la locura. Tenemos por ejemplo, apilados
decenas de miles de armamentos nucleares; suficientes para destruir el mundo
entero varias veces.
Los ecosistemas globales y la evolución ulterior de
la vida, aún sin la amenaza nuclear, están seriamente en peligro y pueden
desembocar en un desastre ecológico en gran escala. Nuestra prodigiosa
tecnología no parece servir de ayuda alguna. Podemos controlar el suave
descenso de una maquinaria espacial en planetas distantes, pero somos incapaces
de controlar los humos contaminantes que emanan de nuestros autos y fábricas.
Todo esto sugiere un profundo desequilibrio en
nuestra cultura: en nuestros pensamientos y sentimientos, en nuestros valores y
actitudes, y en nuestras estructuras sociales.
HACIA UN NUEVO PARADIGMA:
Una reflexión posterior muestra que las raíces de
esta crisis cultural residen en el desequilibrio entre dos modalidades de la
conciencia que han sido reconocidas a través de los tiempos como aspectos
característicos de la naturaleza humana. Son usualmente llamadas la vía
racional y la vía intuitiva, o modalidad científica y modalidad religiosa, y
han sido descritas con otros términos variados: masculino/femenino, lineal/no
lineal, etc. Los chinos las han llamado el yang y el yin, y NUNCA LAS VIERON
COMO EXPERIENCIAS PERTENECIENTES A CATEGORIAS SEPARADAS, sino siempre como dos
fases de la misma realidad. En la perspectiva china tradicional, todas las
manifestaciones de la realidad, incluyendo las manifestaciones de la naturaleza
humana, son generadas por la interrelación dinámica de estas dos fuerzas
polares. De acuerdo a un antiguo texto chino: “Habiendo llegado a su clímax el
Yang se retira en favor del Yin; habiendo llegado a su clímax el Yin se retira
en favor del Yang”.
Resulta muy instructivo observar las actitudes de
nuestra cultura en referencia a estos aspectos complementarios de la naturaleza
humana. El aspecto Yang es nuestro lado masculino: la faz activa, racional,
competitiva, científica. El aspecto Yin es nuestro lado femenino: la faz
dúctil, intuitiva, cooperativa, mística. Nuestra sociedad ha favorecido
consistentemente el YANG antes que el YIN: la actividad por encima de la
contemplación, el conocimiento racional por encima de la sabiduría intuitiva,
la ciencia por encima de las cosmovisiones, la rivalidad por encima de la
cooperación.
Además, en vez de reconocer que la personalidad de
cada hombre y cada mujer es el resultado de una acción recíproca entre los
elementos masculinos y femeninos, hemos establecido un orden estático y rígido
donde ser hombre es arrogarse lo masculino y ser mujer es arrogarse lo femenino,
y hemos dado a los hombres los roles de liderazgo y la mayoría de los
privilegios de la sociedad.
No obstante, creo que somos ahora testigos del
inicio de un tremendo movimiento (r)evolucionario. Como dice el texto chino,
habiendo llegado a su extremo, el YANG se retira en favor del YIN. Los años 60
y 70 han generado una serie íntegra de movimientos políticos, religiosos y
filosóficos que parecen ir todos en la misma dirección. La creciente
preocupación por la ecología, el fuerte interés por el misticismo, el
redescubrimiento del tratamiento holístico de la salud y el curar, y –tal vez
lo más importante de todo- la creciente conciencia feminista, son todas manifestaciones de la misma tendencia
(r)evolucionaria. Todas ellas contrarrestan el exceso de énfasis racional en
las actitudes y valores masculinos, y procuran recuperar un desequilibrio entre
las partes masculinas y femeninas de la naturaleza humana.
Sostengo que el moderno paradigma de la física pueden
efectuar una valiosa contribución en el ámbito de la comprensión, para superar
el desequilibrio cultural imperante.
Desde el siglo XVII, la física ha sido el ejemplo
reluciente de una ciencia exacta y ha servido como modelo para todas las otras
ciencias. Durante dos siglos y medio la física clásica desarrolló una óptica
mecánica del mundo, viendo al universo como un sistema mecánico, compuesto por
ladrillos elementales. Las demás ciencias aceptaron este encuadre como la
descripción correcta de la realidad y modelaron sus propias teorías de acuerdo
a ello.
El siglo XII, sin embargo, la física pasó por
varias revoluciones conceptuales que revelaron claramente las limitaciones de
la concepción mecánica del mundo y nos están conduciendo a una visión orgánica
y ecológica del globo que muestra grandes similitudes con las visiones de los
místicos de todas las eras y las tradiciones. El universo ya no es más visto
como una máquina hecha a partir de una multitud de objetos separados, sino que
aparece como un todo armonioso e indivisible; una red de relaciones dinámicas
que incluyen al observador humano (él o ella) y su conciencia de modo
esencial”. (Frijot Capra).
La nueva concepción de paradigma ha enseñado a los
científicos que perspectivas YANG como el ideal de asir la totalidad del universo
o intentar la separación del observador del objeto observado son sólo
espejismos. La antigua- presente división entre racionalidad y afectividad que
caracteriza a la ciencia moderna no puede continuar sin el virtual (o más bien
real) exterminio de la raza humana y nuestra única esperanza es el advenimiento
de un tipo muy distinto de “relato” o “mitología integradora”.
Caminemos al menos una arista en la senda que
debieron recorrer los que abrieron paso al nuevo paradigma en la ciencia que es
la base de este nuevo relato o mitología integradora, no sin decir que este
trazado se recorrió de la mano de las matemáticas y en especial, respecto del
tema que tratamos, en el ámbito de la geometría.
DOS UNIVERSOS: MACRO Y MICRO COSMOS:
Los físicos durante el siglo pasado (s.XX),
sintieron tambalear los fundamentos de su visión de mundo cuando la debieron
confrontar con la mecánica cuántica (o teoría atómica) y la teoría de la
relatividad. Así lo expresó Einstein, respecto de la teoría atómica:
“Todos
mis intentos de adaptar el fundamento teórico de la física a este (nuevo tipo
de) conocimiento fracasaron completamente. Era como si la tierra hubiese sido
quitada de debajo de mis pies, sin ningún cimiento firme a la vista, sobre el
cual poder construir”.
Los descubrimientos de la Física Moderna
necesitaron revolucionar conceptos como: espacio, tiempo, materia, objeto,
causa y efecto. La visión mecánica y clásica del mundo tuvo que ser abandonada
a principios del recientemente acabado siglo (en sus tres primeras décadas)
cuando la teoría cuántica y la teoría de la relatividad – las dos teorías
básicas de la Física Moderna- nos incitaron a adoptar una visión mucho más
sutil y “orgánica” de la naturaleza .....
Teoría de la relatividad (física del macrocosmos) y
la física atómica (física del microcosmos) modificaron todos los conceptos
principales de la concepción newtoniana del mundo (antiguo paradigma físico):
la noción del espacio y el tiempo absolutos y separados, las partículas sólidas
elementales (que desde ahora poseen un comportamiento dual: son partículas u
ondas) y el ideal de una descripción objetiva de la naturaleza (o universo).
La teoría de la relatividad (que trata del espacio,
el tiempo y la estructura del universo) fue construida o fue la hazaña
intelectual de una única persona: Albert Einstein, que publicó sus primeros
frutos hacia 1905. La teoría cuántica (que trata acerca de las unidades
fundamentales de materia y energía) fue elaborada 20 años más tarde por todo un
equipo de físicos de varias nacionalidades.
ANALOGÍA DE LA RELATIVIDAD GENERAL:
Imagina una “bolita de cristal” sobre un colchón.
Si tu le das un empujoncito, se moverá en línea recta. Pero pon también en el
colchón, una bola grande de bowling. Si vuelves a dar un empujoncito a la bolita de cristal, ésta bajará rodando
por la superficie inclinada; su trayectoria cambiará de recta a curva. El peso
de la bola de bowling “deforma” el medio que es el colchón y ese entorno
deforme influye en el movimiento de la bolita de cristal. Ahora sustituyamos la
bola de bowling y la de cristal por planetas, estrellas o galaxias, y el
colchón por el espacio-tiempo. Una metáfora .... En un universo sin objetos
masivos, el espacio y el tiempo no se deforman, y la distancia más corta entre
dos puntos es una línea recta. Pero cuando la materia hace su aparición, las
distancias se curvan y la distancia más corta entre dos puntos es una curva (geodésica
(*)).
(*) En cualquier punto del espacio, geodésica es la
curva de menor longitud entre dos puntos dados. Por ejemplo, en una esfera las
geodésicas son partes de círculos. En un plano, en particular, las rectas son
las geodésicas.
La primera y más célebre confirmación de esta
teoría llegó en 1919, cuando los astrónomos establecieron que la masa del sol
causaba, como Einstein había pronosticado, la curvatura de un rayo de luz (fue
cuando le preguntaron: ¿qué habría dicho Ud. si su predicción NO se hubiese
verificado?, a lo que contestó: Tendría que decir que Dios es un distraído....
OTROS TIPOS DE GEOMETRIAS PARA COMPRENDER EL
COSMOS:
Estas simples imágenes nos hablan de espacios
curvos donde quizás sea necesario introducir la presencia de otro tipo de
geometrías.
¿Y qué había pasado con el desarrollo de la
geometría hasta los tiempos previos a Einstein?
La geometría nació en Grecia hace más de 2.500
años. Su nacimiento introdujo el método esencial de las matemáticas: la
estructuración de un andamiaje que parte de verdades aceptadas por consenso y
que no necesitan ser demostradas, estas verdades se llaman axiomas o
postulados. A partir de dichas verdades, por medio de un método riguroso que se
llama “Demostración”, se verifican –de manera general- verdades superiores que
se conocen como Teoremas.
Euclides sistematizó el saber geométrico en el
mundo antiguo, en el siglo III a.C. La geometría que recopiló en su libro “Los
Elementos”, es una geometría relativa al plano, por eso se le llama “Geometría
Plana”.
Esta obra monumental, que iba a dominar el
pensamiento geométrico durante los veinte siglos venideros, se basó enteramente
en diez postulados (o axiomas) enunciados al principio de Los Elementos. Estos
postulados fueron considerados verdaderos e intocables durante dos mil años. En
particular esto sucedía con el QUINTO POSTULADO, que debe serte familiar porque
lo hemos escuchado en nuestras escuelas: “por un punto dado podemos trazar una
paralela, y sólo una, a una recta dada que no pasa por este punto” (¿te lo
imaginas? …. Haz un dibujo).
Hacia finales del
siglo XVII, algunos matemáticos comenzaron a plantear que el postulado recién
presentado (el de las paralelas) era redundante, es decir, que se podía
demostrar a partir de los otros 9 postulados. En el transcurso de los siglos
venideros comenzaron a hacerse muchos esfuerzos para demostrar esta hipótesis,
PERO SIEMPRE FUE EN VANO: el postulado de las paralelas NO se podía demostrar a
partir de los otros axiomas euclideanos.
Fue así como surgieron matemáticos que decidieron
preguntar si era posible que el quinto postulado de Euclides fuese falso: uno
de ellos preguntó: ¿Qué pasaría si por un punto exterior a una recta no se
pudiera dibujar paralela alguna? …. Otro matemático pensó: ¿Qué pasaría si por
un punto exterior a una recta, pudieran dibujarse infinitas rectas paralelas?
El desafío y el honor de elaborar las primeras
geometrías no euclideanas (no planares) correspondió a una terna de pioneros
audaces: 1) Nicolai Lobachevski, (1793-1856), de origen ruso; 2) Janos Bolyai,
(1802-1860), húnagro; 3) Bernhard Riemann, (1826-1866), alemán.
En lugar del QUINTO POSTULADO DE EUCLIDES (“a
partir de un punto se puede trazar una y solo una paralela a una recta dada que
no pase por dicho punto”), Lobachevski y Bolyai dijeron: “a partir de un punto
se puede trazar una infinidad de paralelas a una recta dada”, construyendo así
lo que se denomina hoy Gerometría de Lobachevski-Bolyai o Geometría Hiperbólica
(que funciona en superficies como una silla de montar o una trompeta), mientras
que Riemann proponía el siguiente axioma: “a partir de un punto no se puede
trazar ninguna paralela a una recta dada”, para construir la geometría que hoy
se conoce con su nombre –“de Riemann- o
como Geometría Elíptica (que funciona en superficies como la esfera). Esto se
observa en las siguientes imágenes:
Euclides ya no es de utilidad cuando tratamos con
superficies curvas, hay que recurrir a Lobachevski, Bolyai y Riemann quienes
fueron capaces de construir geometrías coherentes (es decir tan válidas como la
geometría de Euclides) negando el quinto postulado.
Sin embargo lo anterior no descarta la geometría
euclídea. Es la propia teoría de la relatividad general la que nos ofrece una
interesante conclusión: las tres geometrías pueden ser igualmente válidas,
porque en distancias pequeñas las tres geometrías son equivalentes. Sin embargo
en el espacio astronómico, o al tratar con problemas de física moderna como la
relatividad o la teoría de la propagación de ondas, las geometrías no
euclideanas dan una descripción mucho más acertada o precisa de los fenómenos
que se estudian. Al nivel en que nos movemos, cuando deseamos ordenar los
muebles de nuestra pieza, no necesitamos geometría hiperbólica para hacerlo, a
menos que tu pieza sea una pseudoesfera ….
Estas geometrías nos llevan a paradojas, por
ejemplo en la geometría de Riemann la suma de los ángulos interiores de un
triángulo es mayor que 180 grados y en la Hiperbólica menos de 180. En ambas
geometrías no euclideanas no hay triángulos semejantes, pues los ángulos crecen
con el área …. ¿Cómo es esto posible? ….
