Las ternas pitagóricas y Fibonacci
Uno de los resultados matemáticos más famosos probablemente sea el teorema de Pitágoras, a saber:
“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud del lado mayor (la hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados (los catetos)”
Si se observa desde el punto de vista geométrico, como el área de un cuadrado es igual al cuadrado de su lado, el teorema de Pitágoras viene a afirmar que si hacemos cuadrados cuyos lados sean los de un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los otros dos.
Pues bien, esta misma expresión nos permite saber cómo es un triángulo según sus ángulos sin necesidad de medirlos.
¿Suena bien, no? Clasificar una cosa según otra sin conocer esa otra…
Basta con realizar los cuadrados de las longitudes de los tres lados del triángulo y comparar el cuadrado del lado mayor con la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos.
Si la suma es igual, estaremos ante un triángulo rectángulo (tiene un ángulo recto, es decir, de 90º).
Si es mayor, se trata de un triángulo obtusángulo (el ángulo mayor es obtuso, mayor de 90º).
Y, si la suma es menor, es un triángulo acutángulo (los tres ángulos son menores de 90º).
A estas alturas de la entrada, alguien estará preguntando ya: ¿qué pasa con las ternas pitagóricas y Fibonacci? Vamos con ello.
Cuando los valores de los lados de un triángulo rectángulo son números enteros, forman un conjunto de números al que se le llama terna pitagórica.
Es decir, una terna pitagórica es un conjunto de tres números enteros (a, b, c) que cumple:
Son ternas pitagóricas, por ejemplo:
(3, 4, 5) (5, 12, 13) (20, 21, 29) (65, 72, 97) …
Y ahora es donde entra la tantas veces sorprendente sucesión de Finonacci.
Podemos encontrar ternas pitagóricas a través de la sucesión de Fibonacci.
Permitidme un breve inciso para aquellas personas que no conozcan dicha sucesión (llegará un momento en que eso sea prácticamente imposible):
La sucesión de Fibonacci, se trata de una sucesión infinita de números naturales que comienza con los números 1 y 1, y a partir de ellos, cada término se obtiene sumando los dos anteriores:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1.597…
A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci. El nombre de sucesión de Fibonacci se lo debe a Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci.
Os dejo también algunos enlaces de entradas de este blog que hacen referencia a dicha sucesión, y que dan una idea de por qué es tan relevante:
Naturaleza fractal… geometría y números
Me quiere… no me quiere… me quiere…
¿Sabías que…? sobre la sucesión de Fibonacci
¿Sabías que…? sobre la sucesión de Fibonacci II
Volviendo al tema de la sucesión de Fibonacci y las ternas pitagóricas, si elegimos cuatro términos consecutivos cualesquiera de la sucesión, como por ejemplo 2, 3, 5 y 8, podemos formar con ellos tres números:
- El producto de los dos de los extremos: 2·8 = 16;
- El doble del producto de los dos centrales: 2·(3·5) = 30;
- La suma de los cuadrados de los dos centrales: 32 + 52 = 34.
Pues bien, se puede comprobar con facilidad que esos tres números obtenidos (34, 30, 16) forman una terna pitagórica:
162 = 256 302 = 900 342 = 1.156
256 + 900 = 1.156
O, dicho de otra manera, son los lados de un triángulo rectángulo.
Esto que hemos conseguido con estos cuatro números consecutivos de la sucesión de Fibonacci (2, 3, 5 y 8), lo obtendremos SIEMPRE que apliquemos el método que hemos visto a cualquier grupo de cuatro términos consecutivos de dicha sucesión.
Parece magia, pero son… MATEMÁTICAS.
