Recursos Matemáticos: agosto 2016

lunes, 29 de agosto de 2016

Materia Homotecia - 1ro. Medio

Cuartiles (Tomado de Wikipedia)

Los cuartiles son los tres valores que dividen un conjunto de datos ordenados en cuatro partes porcentualmente iguales. Aparecen citados en la literatura científica por primera vez en 1879 por D. McAlister.¹

La diferencia entre el tercer cuartil y el primero se conoce como rango intercuartílico. Se representa gráficamente como la anchura de las cajas en los llamados diagramas de cajas.

Dada una serie de valores X₁,X₂,X₃ ...X_n ordenados en forma creciente, podemos pensar que su cálculo podría efectuarse:

Primer cuartil (Q₁) como la mediana de la primera mitad de valores;
Segundo cuartil (Q₂) como la propia mediana de la serie;
Tercer cuartil (Q₃) como la mediana de la segunda mitad de valores.

Pero esto conduce a distintos métodos de cálculo de los cuartiles primero (así como tercero) según la propia mediana se incluya o excluya en la serie de la primera (respecto de la segunda) mitad de valores.

Cálculo con datos no agrupados

No hay uniformidad sobre su cálculo. En la bibliografía se encuentran hasta cinco métodos que dan resultados diferentes.² Uno de los métodos es el siguiente: dados n datos ordenados,

Para el primer cuartil:

${\frac {n+1}{4}}$ ${\frac {n+1}{4}}$

Para el tercer cuartil:

${\frac {3(n+1)}{4}}$ ${\frac {3(n+1)}{4}}$

El Universo y la Simetría ....

"El universo está construido siguiendo un plan cuya profunda simetría está presente de algún modo en la estructura de nuestro intelecto"

Paul Valéry

domingo, 28 de agosto de 2016

Calculando Estadígrafos

Se da un listado de edad de mujeres, como sigue:

25 ; 31 ; 32 ; 23 ; 21 ; 58 ; 30 ; 50 ; 52 ; 79 ; 23 ; 62 ; 19 ; 25 ; 16 ; 62 ; 42 ; 39 ; 68 ; 66 ; 26 ; 75 ; 65 ; 76 ; 23 ; 46 ; 47 ; 46 ; 44 ; 66 ; 58 ; 65 ; 56 ; 49 ; 17 ; 80 ; 24.

1) ¿Cuál es el tamaño de la muestra?

Contando, hay 37 datos; n = 37.
n es el tamaño de la muestra.

2) ¿Cuál es la media aritmética?

Todos los datos son: 37
Todos ellos suman : 1686
Promedio o Media Aritmética = 1686/37 = 45,567567567

3) ¿Cuál es la Mediana?

Es importante saber que los datos son en número impar, por lo que la mediana será justo el dato del centro, que corresponde a la posición 19 cuan do los datos son ordenados de MAYOR a menor o viceversa.

Ordenemos de MAYOR a menor:

16-17-19-21-23-23-23-24-25-25-26-30-31-32-39-42-44-46-46-47-49-50-52-56-58-58-62-62-65-65-66-66-68-75-76-79-80

Obtenemos que la Mediana = Percentil 50% = 46.

4) ¿Y Cuál es la Moda?

El dato que más se repite:

16-17-19-21-23-23-23-24-25-25-26-30-31-32-39-42-44-46-46-47-49-50-52-56-58-58-62-62-65-65-66-66-68-75-76-79-80

La Moda es = 23.

5) ¿Y Cuál es el MAYOR y menor valor?

16-17-19-21-23-23-23-24-25-25-26-30-31-32-39-42-44-46-46-47-49-50-52-56-58-58-62-62-65-65-66-66-68-75-76-79-80

menor valor = 16
MAYOR valor = 80.

6) ¿Y el Rango?

Rango = MAYOR valor - menor valor = 80 - 16 = 64

7) Rango Intercuartílico: Q3 - Q1/2 = 65 - 25/2 =

8) Primer Cuartil: DATO(n+1)/4 = DATO (37+1)/4=9,5 ----- Dato 10 = 25

9) Tercer Cuartil: DATO3(n+1)/4 = DATO 3(37+1)/4=28,5 ------ DATO 29=65

10) Varianza y Desviación Estándar:

11) Desviación Cuartil:

12) Desviación Media:

sábado, 27 de agosto de 2016

7mo. Medio - Construyendo un MANDALA con Procesador Geométrico - Construcción Geométrica

Metodología Activa: Construyendo un Mandala con Geogebra.

Objetivos:

- Practicar en el Arte, la Construcción Geométrica y sus conceptos asociados.
- Utilizar un procesador Computacional.
- Practicar la belleza y la quietud del pintar, el diseñar, el dibujar ....

Palabras Asociadas: Construcción Geométrica, Copiar un ángulo, Construir un triángulo, Alturas, Bisectrices, Transversales de Gravedad, Simetrales o Mediatrices, Medianas, Paralelismo, Perpendicularidad, Construcción con Regla y Compás, Regla, Compás, Transportador, Construcción Mecánica, etc.

FELIZ de que en la Escuela haya una batería de Computadores Portátiles !!!!

Abre este Documento y están todos los detalles de este Micro-Proyecto!

viernes, 26 de agosto de 2016

1ro. Medio 2016 - Guía de Homotecia

Guías 8avo. Medio - Isometrías (Incluye Rotaciones)

Guías 7mo. Medio - Elementos Secundarios en el Triángulo

Materia:

Ejercicios relativos a la materia:

lunes, 22 de agosto de 2016

Isometrías .... - 8avo Medio

domingo, 21 de agosto de 2016

1ro. Medio - Semejanza

Guía de Semejanza, con parte diferenciada PSU Concepto de Semejanza Triangular

8avo. Medio: Isometrías

Resumen Isometrías

Traslaciones

Simetrías Varias

Guía de Transformaciones Isométricas o Isometrías

7mo. Medio: Guía Construcciones Geométricas Primarias

Materiales para Construcción Geométrica - 7mo. Medio

miércoles, 17 de agosto de 2016

El Hindú al que los números le contaban sus secretos ..... (Navas)

Ramanujan: el hindú al que los números le soplaban sus secretos — Srinivasa Ramanujan fue un joven que parecía tener un acuerdo con los dioses. Nunca aprendió ni concibió la matemática como un profesional. Su mente funcionaba de otra manera. Para él, lo importante no era la estructura, sino la revelación. Nunca una demostración, nunca una explicación, solo centenas de fórmulas disparatadas que, con el correr de los años, han resultado casi todas ciertas, y que poco a poco hemos podido ir colocando dentro del edificio matemático occidental.

Desde el primer gran maestro -Pitágoras- hasta nuestros días, la historia de la matemática está plagada de mujeres y hombres ilustres de fuerte carácter. Sin embargo, hay uno difícil de describir. Uno que escapa a todos los cánones establecidos y que, quizás, sea el más querido de todos. Un hombre que murió cuando apenas tenía 32 años, pero que dejó un legado que aún no ha sido completamente descifrado. Un joven que parecía tener un acuerdo con los dioses para que los números le revelasen cada uno de sus misterios.

Srinivasa Ramanujan nació en Erode, India, el 22 de diciembre 1887. De familia relativamente pobre y devota de la diosa Mahalakshmi de Namakkal, no cursó una escolaridad regular. Sin embargo, se cuenta que, siendo aún un niño, cayó en sus manos un libro de matemática que solo contenía fórmulas y teoremas sin mayor explicación. Intrigado, Ramanujan comenzó a descifrarlas una a una. Sentado, de piernas cruzadas y en actitud meditativa, se pasaba el día garabateando trazos en la tierra intentando entenderlas, descubriendo, maravillándose. Y esto es lo extraordinario: Ramanujan nunca aprendió ni concibió la matemática como un profesional. Su mente funcionaba de otra manera. Para él, lo importante no era la estructura, sino la revelación. Nunca una demostración, nunca una explicación, solo centenas de fórmulas disparatadas que, con el correr de los años, han resultado casi todas ciertas, y que poco a poco hemos podido ir colocando dentro del edificio matemático occidental. Por lo menos aquellas que llegaron a nosotros, pues muchas se perdieron en la tierra: el papel era demasiado caro para los escasos recursos de los que disponía.

Ramanujan reprobó dos veces sus exámenes para entrar a la universidad: no tenía tiempo para prepararlos, pues estaba demasiado ocupado haciendo matemática. Sobrevivió trabajando en la oficina de contabilidad de Madras, donde día a día convivía con centenas de números. Se cuenta que, años después, estando ya enfermo, un amigo fue a visitarlo en taxi.
-¿Qué número de patente tenía? -preguntó Ramanujan.
-Uno sin importancia: 1729 -recibió como respuesta.
-¡No, 1729 es un número muy interesante! Es el menor número que puede ser escrito como suma de dos cubos de dos maneras diferentes:

Ese amigo que quedó pasmado ante su respuesta era nada menos que el célebre matemático inglés Godfrey Hardy. Fue él quien lo acogió en Cambridge tras haber sostenido una intensa correspondencia, después de que el talento de Ramanujan había sido por fin detectado por Ramachandra Rao, uno de los fundadores de la Sociedad de Matemática India. Hardy decía que Ramanujan hallaba las soluciones a los problemas mediante un proceso que mezclaba intuición e inducción, y del cual era incapaz de dar un relato coherente. Por esto, tuvo que acometer una singular tarea: para tratar de entender lo que él pensaba y de dónde nacían sus ecuaciones, primeramente debía “enseñarle matemática” o, al menos, debía transmitirle un lenguaje común en que ambos pudieran entenderse. Tenía que instruir al maestro, en quien veía a un nuevo Euler, con el talento suficiente para escalar hasta las alturas de Newton. Y esta extraña relación profesional debía obrar pese a las distancias siderales que separaban a este gentlemen inglés, amante del cricket, homosexual y profundamente ateo, del genio pobre hindú, quien solía decir que los teoremas le venían a la mente por acto de inspiración divina.

A izquierda: Una serie de números en los cuadernos de Ramanujan. A derecha: Otra hoja de cálculos (observe las igualdades abajo a derecha).

Ramanujan era un apasionado de las secuencias y las series infinitas, las que aparecen desparramadas en todas sus notas. Junto con Hardy, emprendió el estudio de una secuencia de extrema importancia:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, …

En ella, el término que aparece en la posición corresponde al número de maneras de escribir como suma de enteros positivos. En otras palabras, es la cantidad de maneras distintas de “partir” el número en piezas aditivas, sin distinguir particiones en las que aparecen los mismos sumandos pero dispuestos en distinto orden. Así, en la tercera posición aparece un tres, pues 3 admite tres particiones: 3 = 2+1 = 1+1+1. De igual forma, en la cuarta posición aparece un cinco, pues 4 admite cinco particiones:

4 = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1.

Por su parte, las siete particiones de 5 son:

5 = 4+1 = 3+2 = 3+1+1 = 2+2+1 = 2+1+1+1 = 1+1+1+1+1.

Junto con Hardy, estableció la siguiente fórmula de aproximación para el término n-ésimo (recuerde que la letra e se usa para denotar un importantísimo número descubierto por Euler: e=2,71728...):

Sería imposible describir en unas pocas líneas todo el portento de la obra de Ramanujan. En apenas cinco años en Cambridge, produjo más de una treintena de artículos seminales trabajando por su cuenta, además de varios otros en colaboración con Hardy. Sus descubrimientos siguen influenciando la matemática hasta el día de hoy. Solo por dar un ejemplo, formuló una conjetura que vino a ser corroborada décadas más tarde por el belga Pierre Deligne, trabajo por el cual este fue galardonado con la medalla Fields en 1978. En fin, no podría hablarse hoy en día de matemática sin mencionar su nombre ni referirse a algunos de sus legados: los grafos de Ramanujan, las sumas de Ramanujan, la constante de Ramanujan, la forma cuadrática ternaria de Ramanujan, el teorema maestro de Ramanujan, ...

Desde su temprana juventud, Ramanujan había sido aquejado por varias enfermedades. Tenía permanentes cuadros de tuberculosis que hoy se cree que derivaban de una enfermedad parasitaria (la amebiasis hepática, perfectamente curable si se diagnostica correctamente) y que se agravaban con el clima de Inglaterra. Esto, sumado a sus problemas para subsistir en este país envuelto en la I Guerra Mundial, la nostalgia de su tierra y el trato vejatorio al que se vio a veces expuesto por ser oriundo de una colonia británica, lo motivaron a volver a la India en 1919. Pero su salud no mejoró. En 1920, su genio y su espíritu (que en él se confundían en uno solo) se apagaron para siempre. ¡Quién sabe cuánto más nos hubiese podido legar con tan solo haber vivido un par de años más!

El tablero mágico de Ramanujan: En este arreglo, los números de cada fila suman 139, al igual que los de cada columna, los de ambas diagonales, los de las esquinas, los del cuadrado central, los de las casillas coloreadas en azul y los de las pintadas de rosado. ¿Reconoce los números de la primera fila? Veintidós de diciembre de mil ochocientos ochenta y siete, el día del nacimiento de Ramanujan…En 2011, en el aniversario 125 de su nacimiento, el gobierno indio proclamó el 22 de diciembre como el Día Nacional de la Matemática.

En 1991, Robert Kanigel publicó El hombre que conocía el infinito: la vida del genio Ramanujan, obra de carácter biográfico que inspiró la película casi homónima estrenada en 2016. En ella, Dev Patel juega el papel de Ramanujan, y Jeremy Irons el de Hardy. Es de esperar que pronto llegue a las carteleras de los cines de nuestro país. Si puede verla se la recomiendo plenamente, no como el fino catador de cine que ciertamente no soy, sino simplemente porque, sin ser un documental, es de las producciones cinematográficas sobre la vida de un científico más ajustada a la realidad que se ha realizado. En cuanto a la matemática presente en la película, no hay nada que corregir: como unos de los asistentes trabajó nada menos que el matemático (de origen hindú) Manjul Bhargava, uno de los ganadores de la Medalla Fields en 2014 y gran conocedor de la obra de Ramanujan, su inspirador.

La casa de niñez de Ramanujan es lugar de visita turística en Kumbakonam.

Notas de Ramanujan

Tres fórmulas Ramanujan:

La primera de ellas, presente en su primer artículo, anunciaba ya de algún modo la originalidad de la obra que vendría. Ella puede ser obtenida con apenas los conocimientos de la escuela (y una cuota de astucia extraordinaria). La segunda figuraba, en medio de muchas otras, en una carta que envió a Hardy, y pese a que no iban acompañadas de ninguna explicación, este y su colega Littlewood estimaban que todas debían ser correctas simplemente porque eran tan bellas y originales que nadie podría ser capaz ni siquiera de formularlas sin una motivación profunda. En cuanto a la tercera, permítanmela exhibirla sin mayor explicación; solo diré que se trata de una joya delirante que permite calcular con gran exactitud los dígitos del esquivo número π.

Bella ....¿Quién es?

En plena mitad del siglo XIX, el 15 de enero de 1850, nació en Moscú una descendiente directa del rey Matías Corvino de Hungría (1443-1490): Sofía Vasílievna. Sin embargo, el origen noble de la niña se había degradado porque su abuelo se casó con una gitana, siendo por ello despojado de su título de príncipe. Aun así, ella recibió una educación de primera calidad a cargo de un tutor personal, un profesor de física, uno de matemática, y muy especialmente de su tío Pyotr, quien estimulaba sus vetas poética y científica. Se cuenta que, siendo Sofía pequeña, después de una mudanza debieron empapelar la nueva casa, pero faltó material. Usaron entonces un libro viejo para completar el trabajo en su pieza. Se trataba, por azar, de un texto de cálculo diferencial, y las extrañas fórmulas que quedaron impresas en la pared de su cuarto alimentaron su fantasía y curiosidad científica desde temprana edad.

Sin embargo, sus extraordinarios progresos horrorizaron a su padre, quien detestaba a “las mujeres sabias” y sencillamente le prohibió avanzar más en su estudio de las ciencias. Pero Sofía se las arregló para continuar a escondidas y de forma autodidacta. Así era ella: brillante, tímida, rebelde, apasionada y, según cuentan, muy bella. Al leer los relatos originales respecto a esto último, no puede sino venir a mi mente una escena famosa de la novela El Idiota, de Fédor Dovstoyevski, en la cual el príncipe Myshkin le dice torpemente a Aglaia Ivanovna: “Usted es tan hermosa que da miedo mirarla”… Y Dovstoyevski no es ajeno a esta historia: fue novio de su hermana Anya –quien, según muchos, inspiró el personaje Aglaia de su novela–; además, se dice que Sofía se enamoró de él siendo aún una niña.

Toda la vida de Sofía es un precioso y trágico cuento ruso, parte del cual es relatado con singular maestría por la Premio Nobel de Literatura Alice Munro en su libro Demasiada Felicidad.

Con apenas 18 años, contrajo matrimonio con el paleontólogo Vladimir Kovalevski, tomando entonces su apellido. Se trataba, sin embargo, de un contrato por simple conveniencia: era la única manera que tenía para salir del país y aprender matemática.

Viajó a Heidelberg y luego a Berlín, donde estudió con Karl Weierstrass, con quien entabló una relación muy singular: al recibirla, el rígido alemán pensó inmediatamente en deshacerse de la aspirante a aprendiz proponiéndole una lista de problemas muy difíciles. Su sorpresa fue mayúscula cuando Sofía volvió a la semana siguiente con soluciones para todos ellos, muchas de las cuales eran más sencillas y elegantes que las del propio maestro. Desde entonces se convirtió en su mentor personal, debido a que a las mujeres les estaba vedado asistir a las clases comunes.

Weierstrass, el más riguroso de los “analistas” (es decir, quienes desarrollan el cálculo diferencial e integral), tuvo que guiar el talento desenfrenado de Sofía. La carrera de ella fue muy fluctuante. Cada cierto tiempo, debía sobrellevar el drama de su familia: las muertes primero de su padre, luego de Vladimir –con quien, años después de su matrimonio, había establecido una verdadera relación de pareja y tenido una hija, pero que se suicidó abrumado por las deudas– y, finalmente, de su hermana Anya. En otros períodos, se dedicaba a actividades diversas (muchas de ellas consideradas frívolas por la academia), como tertulias intelectuales o negocios. Esto último, unido a su belleza y matizado con su espíritu nihilista y libertario, no le granjearon una muy buena fama.

En 1874, Sofía se doctoró en ausencia pero con honores en la U. de Göttingen. Si bien esta era “más liberal” que la de Berlín como para permitir el otorgamiento del grado doctoral a una mujer, de todos modos le negó toda posibilidad de ejercer como académica. Inició entonces un largo peregrinar para conseguir trabajo (su Rusia zarista natal por la que deambuló durante varios años nunca se lo ofreció). Casi una década más tarde, amparada por el matemático y mecenas Gustav Mittag-Leffler (quien también había sido alumno de Weierstrass), consiguió recalar en Suecia.

Al cabo de un par de años, fue nombrada catedrática de matemáticas de la U. de Estocolmo. Se convertía así en la primera mujer en ostentar un cargo de este tipo en ese país, y la tercera en toda Europa. Con más estabilidad, pudo dar rienda a su otra pasión, la literatura, a la vez que comenzó a abogar por los derechos femeninos. Lamentablemente, con apenas 41 años y en pleno esplendor de su carrera, murió de una pneumonía mal cuidada, en medio de una profunda depresión sentimental gatillada por el rompimiento con su nueva pareja, Maxim, quien pretendía que abandonara su carrera para que llevaran una vida conyugal tradicional.

De la obra matemática de Sofía destacan especialmente dos hitos. El primero nace de su tesis de doctorado y trata sobre ecuaciones diferenciales. Un problema central en matemática es determinar si estas tienen o no soluciones y, en el caso de que existan, si ellas son únicas. El teorema de Cauchy-Kovalévskaya afirma que tal es el caso para algunas ecuaciones muy importantes en que las funciones involucradas son extremadamente suaves (más específicamente, funciones a las que llamamos “analíticas”, como los polinomios, las funciones trigonométricas, el logaritmo y la mayoría de las funciones comúnmente utilizadas). Este teorema había sido establecido en casos más particulares por el francés Augustin Cauchy, pero fue Sofía quien dio con la versión general que se esperaba gracias a una demostración que es un verdadero portento de tenacidad y en la que despliega una técnica magistral.

El segundo gran resultado de Sofía consiste en un trabajo particularmente elegante sobre un problema planteado por Leonhard Euler acerca de la rotación de un cuerpo sólido en torno a un punto. Se trataba de un tema muy conocido en la época, tanto así que en su novela Middlemarch, la escritora inglesa George Eliot (1819-1880) señalaba: “En resumen, la mujer era un problema que […] no podía ser menos complicado que el de las revoluciones de un cuerpo sólido de forma irregular”. El propio Euler lo había resuelto en el caso en que el punto es el centro de gravedad del cuerpo, y Lagrange en el caso en que el cuerpo tiene un eje de rotación (como un trompo). La solución de Sofía, que extiende las dos anteriores, consiste en una configuración universalmente conocida como “el trompo de Kovalévskaya”, en la cual se explota un nuevo tipo de simetrías. Este trabajo le valió un importante reconocimiento en 1888: el Premio Bordin de la Academia Francesa de Ciencias.

Pero Sofía no solo nos legó su matemática. También incursionó en la física, con un estudio de óptica; en la astronomía, con un trabajo sobre los anillos de Saturno; en la literatura, con una serie de poemas, un libro de memorias y una novela, Mujer Nihilista, además de una obra de teatro, La Lucha por la Felicidad, escrita junto a Anna Leffler, hermana de Gustav; y en la divulgación científica, con decenas de artículos para periódicos. En medio de estos últimos figuran muchos de sus famosos aforismos, entre los cuales destaca uno particularmente inspirador y muy revelador de su espíritu:

“Es imposible ser matemático sin tener alma de poeta […]
El poeta debe ser capaz de ver lo que los demás no ven,
debe ver más profundamente que otras personas.
Y el matemático debe hacer lo mismo”.