I Seminario de Didáctica de las Matemáticas - Universidad Alberto Hurtado

Este es sólo mi pequeño resumen .... unos apuntes para mi estudio personal ....

Asistí a un seminario, el 

Ier. Seminario de Didáctica de la Matemática, de la Universidad Alberto Hurtado.

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Estuve en tres de los eventos, había que elegir porque muchos de la exposiciones/talleres eran simultáneos. Estos fueron:

1) Taller de "Geometría para la Enseñanza Media", del Dr. Marcos Barra B.

2) Ponencia: "Traspaso de Decimal a Fracción en Videos de Youtube", del Magister Nelsón Cofré, de la Universidad Alberto Hurtado.

3) Conferencia Final: "Comprensión de gráficos estadísticos: dificultades y retos para el profesorado.", por el Dr. Pedro Arteaga, Universidad de Granada, España.

Quiero referirme solamente al Taller de "Geometría para la Enseñanza Media", porque fue el espacio en que me sentí fuera de mi espacio de comodidad, porque la forma en que se presentó el taller fue muy desafiante.

Nos mostró tres formas de argumentos distintos para justificar la veracidad de un teorema relativo a la congruencia de dos de los tres lados de un triángulo, con dos ángulos interiores congruentes.

Teorema: 

Si dos ángulos interiores de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos ángulos son congruentes.

(Este es el Teorema Recíproco del Teorema del Triángulo Isósceles)

Recuadro 1:

En este planteamiento coincidimos toda la audiencia. Esta no es una demostración matemática porque está nucleada en torno a un ejemplo particular: particulares son los lados y los ángulos usados. Coincidimos que más bien en las siguientes palabras para referirnos a este recuadro: Comprobación del Teorema, Verificación particular del Teorema, Muestra de un caso en el cual el teorema se cumple.

Recuadro 2:

* OJO que el punto "C" en la imagen de las dos circunferencias está mal ubicado.

* En este dijimos que la propia condición de mediatriz implicaba igualdad de distancias entre los trazos CA y CB. 

* Este fue un argumento poco firme: Algunos colegas y colegas postularon que este es quizás una verdad que se puede construir a posteriori de demostrar el el teorema requerido y que en consecuencia -elegimos- no es una argumentación válida para justificar la veracidad del enunciado.

Recuadro 3:

En lo personal, respecto del recuadro 3, este fue el único recuadro del que me pareció tener la estructura que yo uso para demostrar. Sin embargo, como utiliza un triángulo sobre si mismo, me generó una sencación extraña, que yo califiqué internamente como una "tautología".

Finalmente, en lo personal, a mi me dio la sensación de que el Dr. Barra ratificó este recuadro como una demostración válida.

1) En su condición de profesor/ra, ¿Cuál de los tres argumentos consideraría Ud. para enseñar, por ejemplo a un curso de 4to. Medio, la manera en cómo se justifica la veracidad del enunciado?

2) ¿Cuál de los argumentos considera Ud., que representa una demostración? y a los otros argumentos ¿cómo los llamaría?

3) Según su forma de ver cada argumento, ¿Considera que alguno de ellos es incorrecto matemáticamente hablando?

Preguntas finales:

Respecto del Problema I: La respuesta es muy fácil: "poseen igual base e igual altura". Porque la base es la misma, coincide en los tres triángulos y; la altura es la misma puesto que es la distancia entre las paralelas que es única.

Respecto del Problema II: En la imagen se vislumbra una solución algebraica-geométrica. Yo expuse la siguiente solución:

Condición 1: Polígono ABDE, cuadrado.

Consición 2: Trazo GA = Trazo AB = Trazo BF.

Así: Area Triángulo GFD = (3x)(x)/2 = 3x^2/2

Así Area Polígono ABCDE = (x)(x)+(x)(x)/2=3x^2/2

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Nota 1: Debo decir que de las tres propuestas de "demostración", ninguna de ellas es la que yo elegiría como demostración para mostrar a mis alumnas y alumnos, normalmente preferiría otra.

Nota 2: Sugerencias de Lecturas: Balacheff Nicolás (Francia); Crespo Cecilia (Cuba); Duval Raymond (Francia).

Nota 3: Para Nicolás Balacheff, Prueba es diferente de Demostración. 

Explicar, probar, y demostrar son considerados frecuentemente como sinónimos en la educación matemáticas; esto se puede verificar en la diversidad de los textos escolares. 

Prueba: es simplemente un mecanismo por el cual uno convence a otro de la veracidad o falsedad de una sentencia. 

Demostración: En los Sistemas Axiomáticos Formales, es el encadenamiento lógico, riguroso, que partiendo de axiomas (o verdades que se aceptan sin demostración) logra demostrar una verdad mayor.

Para Balacheff, hay dos tipos de Pruebas: las Pruebas Pragmáticas y las Pruebas Intelectuales, en estas últimas, se incluye la demostración:

Hay varios tipos de Demostración: 

a) Directa

b) Por Contraposición

c) Reducción Al Absurdo

d) Inducción.

Tomado de Internet: "Procesos de Prueba en los alumnos de matemáticas", por Nicolás Balacheff.

TIPOS DE PRUEBA 

Nuestros primeros trabajos de investigación (Balacheff, 1978, 1979) y los de Bell (1976) nos permiten distinguir cuatro tipos principales de pruebas pragmáticas e intelectuales que tendrán un lugar privilegiado en la génesis cognitiva de la demostración: el empiricismo ingenuo, la experiencia crucial, el ejemplo genérico y la experiencia mental. Los dos primeros tipos de prueba no permiten establecer la verdad de una aserción. Su condición de pruebas es reconocida únicamente por aquellos que las consideran como tales. Como lo mostraremos a continuación, existe una ruptura fundamental entre los dos primeros tipos de prueba y los dos restantes. De hecho, no se trata de “mostrar” que la proposición en cuestión es verdadera porque “funciona” para el ejemplo genérico y la experiencia mental, sino de establecer el carácter necesario de su validez presentando las razones que lo justifi- quen. Esto constituye un cambio radical en la racionalidad de los estudiantes que defienden estas pruebas. 

Por otra parte, plantearemos una jerarquía hipotética de estos tipos de prueba, evidenciada por el orden en que los presentaremos más adelante. La posición de cada tipo de prueba dentro de esta jerarquía está determinada por su nivel de exigencia de generalidad, y por su nivel de conceptualización de los conocimientos que exige. Así, la transición del ejemplo genérico a la experiencia mental debe cumplir con dos condiciones: el paso de la acción a la acción interiorizada y una descontextualización, que marca el progreso decisivo en la construcción de los conocimientos. Lo anterior resalta el carácter no disociable de la evolución de tres elementos: los medios de prueba, los conocimientos y los medios lingüísticos (ver § III.2., Fischbeint (1982) y Halbwachs (1981)). 

El empiricismo ingenuo: El empiricismo ingenuo consiste en asegurar la validez de un enunciado después de haberlo verificado en algunos casos. Este modo de validación tan rudimentario e insuficiente, es una de las primeras formas de los procesos de generalización (Piaget, 1978). Muestra de ello es el siguiente caso citado por Bell (1976, Capítulo 9). De un grupo de estudiantes de 15 años, a quienes fue propuesta una serie de problemas, el 25% obtuvo una determinada respuesta basándose en la sola verificación de algunos casos. Podríamos afirmar que el empiricismo ingenuo constituye una forma resistente de generalización.

La experiencia crucial: La expresión “experiencia crucial” fue una invención de Francis Bacon (1620), que designa una experimentación cuyo resultado permite escoger entre dos hipótesis, siendo verdadera sólo una de ellas. Tengamos en cuenta que si esta experiencia permite rechazar una hipótesis, no es posible afirmar que la otra es verdadera. 

Utilizaremos esta misma expresión para designar el proceso que consiste en verificar una proposición de un caso para el cual no se asume que “si funciona ahora, entonces funcionará siempre”. Este es un ejemplo extraído de Bell (1976, Capítulo 10, p. 12): “Jane muestra un polígono complicado y puede decir definitivamente que el enunciado es verdadero”. La experiencia crucial servirá de cierta manera para decidir entre una proposición y su negación. Este tipo de validación se distingue del empiricismo ingenuo en que el individuo plantea explícitamente el problema de la generalización y lo resuelve, aventurándose a la ejecución de un caso que reconoce tan poco particular como le es posible. 

El ejemplo genérico: El ejemplo genérico consiste en la explicación de las razones de validez de una aserción para la validación de operaciones o transformaciones de un objeto en calidad de representante característico de determinada clase. La formulación libera las propiedades, características y las estructuras de una clase, estando siempre ligada a su categoría y a la exhibición de uno de sus representantes. El siguiente ejemplo, nos sirve a manera de ilustración (Bezout, 1832, p. 23): 

El residuo resultante de la división de un número por 2 o por 5 es el mismo que el residuo de la división de la última cifra a la derecha por 2 o por 5. El residuo de la división de un número por 2×2 o por 5×5, es el mismo que el residuo que resulta de dividir al dividendo, expresado por sus dos últimos números a la derecha, por 2×2 o 2×5, y así sucesivamente. Para probarlo, tomemos el número 43728 y el divisor 5×5. El número 43728 es igual a 43700+28. Ahora bien, 43700 es divisible por 5×5 porque 43700 es el producto de 437 por 100, y 100 es igual a 10×10, a 5×2×5×2 o a 5×5×2×2; el factor 100 es entonces divisible por 5×5. El residuo de la división de 43728 por 5×5 o 25 es por lo tanto el mismo que el de la división de 28 por 25. 

La experiencia mental: La experiencia mental se centra en la acción, interiorizándola y separándola de su ejecución sobre un representante en particular. Se desarrolla en una temporalidad anecdótica, pero las operaciones y las relaciones que inician la prueba nunca están designadas por su puesta en práctica. Las operaciones y las relaciones que sirven de preludio a la prueba nunca son escogidas por el resultado de su puesta en práctica; este es el caso genérico. Aquí tenemos la prueba que Cauchy da al teorema de los valores intermediarios (Cauchy, 1821): 

[…] basta hacer notar que la curva de ecuación y=f(x) cortará una o muchas veces la recta de ecuación y=b en el intervalo comprendido entre las ordenadas que corresponden a las abcisas x0 y X; es evidentemente lo que pasará en la hipótesis aceptada. Siendo la función f(x) continua entre los límites x=x0 y x=X, la curva de ecuación y=f(x), que pasa primero por el punto correspondiente a las coordenadas (x0, f(x0)), y que luego pasa por el punto correspondiente a las coordenadas (X, f(X)), será continua entre estos dos puntos; y como la ordenada constante b de la recta de ecuación y=b se encuentra comprendida entre las ordenadas f(x0), f(X) de dos puntos considerados, la recta pasará necesariamente entre estos dos puntos, lo que no puede hacer sin cortar en el intervalo la curva antes mencionada. 

Esta prueba exige la implicación de la experiencia mental en cuanto remite de hecho a teoremas en acto verificados en la práctica del trazado de curvas representativas de las funciones continuas más comunes, curvas de cualquier tipo que no serán interrumpidas en ningún punto (observemos que en la nota III, Cauchy propone a su clase una demostración “directa y puramente analítica” de este teorema).