jueves, 31 de diciembre de 2015
domingo, 27 de diciembre de 2015
Frase Matemática .....
"Los diseños del matemático, como los del pintor o los del poeta, tienen que ser hermosos; las ideas como los colores o las palabras, tienen que combinar de manera armoniosa. La belleza es la primera prueba: no hay un lugar permanente en el mundo para unas matemáticas feas."
G.H. Hardy
lunes, 21 de diciembre de 2015
jueves, 17 de diciembre de 2015
I Seminario de Didáctica de las Matemáticas - Universidad Alberto Hurtado
Este es sólo mi pequeño resumen .... unos apuntes para mi estudio personal ....
Asistí a un seminario, el
Ier. Seminario de Didáctica de la Matemática, de la Universidad Alberto Hurtado.
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Estuve en tres de los eventos, había que elegir porque muchos de la exposiciones/talleres eran simultáneos. Estos fueron:
1) Taller de "Geometría para la Enseñanza Media", del Dr. Marcos Barra B.
2) Ponencia: "Traspaso de Decimal a Fracción en Videos de Youtube", del Magister Nelsón Cofré, de la Universidad Alberto Hurtado.
3) Conferencia Final: "Comprensión de gráficos estadísticos: dificultades y retos para el profesorado.", por el Dr. Pedro Arteaga, Universidad de Granada, España.
Quiero referirme solamente al Taller de "Geometría para la Enseñanza Media", porque fue el espacio en que me sentí fuera de mi espacio de comodidad, porque la forma en que se presentó el taller fue muy desafiante.
Nos mostró tres formas de argumentos distintos para justificar la veracidad de un teorema relativo a la congruencia de dos de los tres lados de un triángulo, con dos ángulos interiores congruentes.
Teorema:
Si dos ángulos interiores de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos ángulos son congruentes.
(Este es el Teorema Recíproco del Teorema del Triángulo Isósceles)
Recuadro 1:
En este planteamiento coincidimos toda la audiencia. Esta no es una demostración matemática porque está nucleada en torno a un ejemplo particular: particulares son los lados y los ángulos usados. Coincidimos que más bien en las siguientes palabras para referirnos a este recuadro: Comprobación del Teorema, Verificación particular del Teorema, Muestra de un caso en el cual el teorema se cumple.
Recuadro 2:
* OJO que el punto "C" en la imagen de las dos circunferencias está mal ubicado.
* En este dijimos que la propia condición de mediatriz implicaba igualdad de distancias entre los trazos CA y CB.
* Este fue un argumento poco firme: Algunos colegas y colegas postularon que este es quizás una verdad que se puede construir a posteriori de demostrar el el teorema requerido y que en consecuencia -elegimos- no es una argumentación válida para justificar la veracidad del enunciado.
Recuadro 3:
En lo personal, respecto del recuadro 3, este fue el único recuadro del que me pareció tener la estructura que yo uso para demostrar. Sin embargo, como utiliza un triángulo sobre si mismo, me generó una sencación extraña, que yo califiqué internamente como una "tautología".
Finalmente, en lo personal, a mi me dio la sensación de que el Dr. Barra ratificó este recuadro como una demostración válida.
1) En su condición de profesor/ra, ¿Cuál de los tres argumentos consideraría Ud. para enseñar, por ejemplo a un curso de 4to. Medio, la manera en cómo se justifica la veracidad del enunciado?
2) ¿Cuál de los argumentos considera Ud., que representa una demostración? y a los otros argumentos ¿cómo los llamaría?
3) Según su forma de ver cada argumento, ¿Considera que alguno de ellos es incorrecto matemáticamente hablando?
Preguntas finales:
Respecto del Problema I: La respuesta es muy fácil: "poseen igual base e igual altura". Porque la base es la misma, coincide en los tres triángulos y; la altura es la misma puesto que es la distancia entre las paralelas que es única.
Respecto del Problema II: En la imagen se vislumbra una solución algebraica-geométrica. Yo expuse la siguiente solución:
Condición 1: Polígono ABDE, cuadrado.
Consición 2: Trazo GA = Trazo AB = Trazo BF.
Así: Area Triángulo GFD = (3x)(x)/2 = 3x^2/2
Así Area Polígono ABCDE = (x)(x)+(x)(x)/2=3x^2/2
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Nota 1: Debo decir que de las tres propuestas de "demostración", ninguna de ellas es la que yo elegiría como demostración para mostrar a mis alumnas y alumnos, normalmente preferiría otra.
Nota 2: Sugerencias de Lecturas: Balacheff Nicolás (Francia); Crespo Cecilia (Cuba); Duval Raymond (Francia).
Nota 3: Para Nicolás Balacheff, Prueba es diferente de Demostración.
Explicar, probar, y demostrar son considerados frecuentemente
como sinónimos en la educación matemáticas; esto se
puede verificar en la diversidad de los textos escolares.
Prueba: es simplemente un mecanismo por el cual uno convence a otro de la veracidad o falsedad de una sentencia.
Demostración: En los Sistemas Axiomáticos Formales, es el encadenamiento lógico, riguroso, que partiendo de axiomas (o verdades que se aceptan sin demostración) logra demostrar una verdad mayor.
Para Balacheff, hay dos tipos de Pruebas: las Pruebas Pragmáticas y las Pruebas Intelectuales, en estas últimas, se incluye la demostración:
Hay varios tipos de Demostración:
a) Directa
b) Por Contraposición
c) Reducción Al Absurdo
d) Inducción.
Tomado de Internet: "Procesos de Prueba en los alumnos de matemáticas", por Nicolás Balacheff.
TIPOS DE PRUEBA
Nuestros primeros trabajos de investigación (Balacheff, 1978, 1979) y los
de Bell (1976) nos permiten distinguir cuatro tipos principales de pruebas
pragmáticas e intelectuales que tendrán un lugar privilegiado en la génesis
cognitiva de la demostración: el empiricismo ingenuo, la experiencia crucial,
el ejemplo genérico y la experiencia mental. Los dos primeros tipos de
prueba no permiten establecer la verdad de una aserción. Su condición de
pruebas es reconocida únicamente por aquellos que las consideran como
tales. Como lo mostraremos a continuación, existe una ruptura fundamental
entre los dos primeros tipos de prueba y los dos restantes. De hecho, no se
trata de “mostrar” que la proposición en cuestión es verdadera porque “funciona”
para el ejemplo genérico y la experiencia mental, sino de establecer
el carácter necesario de su validez presentando las razones que lo justifi-
quen. Esto constituye un cambio radical en la racionalidad de los estudiantes
que defienden estas pruebas.
Por otra parte, plantearemos una jerarquía hipotética de estos tipos de
prueba, evidenciada por el orden en que los presentaremos más adelante. La
posición de cada tipo de prueba dentro de esta jerarquía está determinada
por su nivel de exigencia de generalidad, y por su nivel de conceptualización
de los conocimientos que exige. Así, la transición del ejemplo genérico a la
experiencia mental debe cumplir con dos condiciones: el paso de la acción
a la acción interiorizada y una descontextualización, que marca el progreso
decisivo en la construcción de los conocimientos. Lo anterior resalta el carácter
no disociable de la evolución de tres elementos: los medios de prueba,
los conocimientos y los medios lingüísticos (ver § III.2., Fischbeint (1982)
y Halbwachs (1981)).
El empiricismo ingenuo: El empiricismo ingenuo consiste en asegurar la validez de un enunciado
después de haberlo verificado en algunos casos. Este modo de validación
tan rudimentario e insuficiente, es una de las primeras formas de los procesos
de generalización (Piaget, 1978). Muestra de ello es el siguiente caso
citado por Bell (1976, Capítulo 9). De un grupo de estudiantes de 15 años,
a quienes fue propuesta una serie de problemas, el 25% obtuvo una determinada
respuesta basándose en la sola verificación de algunos casos.
Podríamos afirmar que el empiricismo ingenuo constituye una forma resistente
de generalización.
La experiencia crucial: La expresión “experiencia crucial” fue una invención de Francis Bacon
(1620), que designa una experimentación cuyo resultado permite escoger
entre dos hipótesis, siendo verdadera sólo una de ellas. Tengamos en cuenta
que si esta experiencia permite rechazar una hipótesis, no es posible afirmar
que la otra es verdadera.
Utilizaremos esta misma expresión para designar el proceso que consiste
en verificar una proposición de un caso para el cual no se asume que “si funciona
ahora, entonces funcionará siempre”. Este es un ejemplo extraído de
Bell (1976, Capítulo 10, p. 12): “Jane muestra un polígono complicado y
puede decir definitivamente que el enunciado es verdadero”. La experiencia
crucial servirá de cierta manera para decidir entre una proposición y su negación.
Este tipo de validación se distingue del empiricismo ingenuo en que el
individuo plantea explícitamente el problema de la generalización y lo resuelve,
aventurándose a la ejecución de un caso que reconoce tan poco particular
como le es posible.
El ejemplo genérico: El ejemplo genérico consiste en la explicación de las razones de validez de
una aserción para la validación de operaciones o transformaciones de un
objeto en calidad de representante característico de determinada clase. La
formulación libera las propiedades, características y las estructuras de una
clase, estando siempre ligada a su categoría y a la exhibición de uno de sus
representantes. El siguiente ejemplo, nos sirve a manera de ilustración
(Bezout, 1832, p. 23):
El residuo resultante de la división de un número por 2 o por 5 es el
mismo que el residuo de la división de la última cifra a la derecha por
2 o por 5. El residuo de la división de un número por 2×2 o por 5×5,
es el mismo que el residuo que resulta de dividir al dividendo, expresado
por sus dos últimos números a la derecha, por 2×2 o 2×5, y así
sucesivamente. Para probarlo, tomemos el número 43728 y el divisor
5×5. El número 43728 es igual a 43700+28. Ahora bien, 43700 es divisible
por 5×5 porque 43700 es el producto de 437 por 100, y 100
es igual a 10×10, a 5×2×5×2 o a 5×5×2×2; el factor 100 es entonces
divisible por 5×5. El residuo de la división de 43728 por 5×5 o 25 es
por lo tanto el mismo que el de la división de 28 por 25.
La experiencia mental: La experiencia mental se centra en la acción, interiorizándola y separándola
de su ejecución sobre un representante en particular. Se desarrolla en una
temporalidad anecdótica, pero las operaciones y las relaciones que inician
la prueba nunca están designadas por su puesta en práctica. Las operaciones
y las relaciones que sirven de preludio a la prueba nunca son escogidas
por el resultado de su puesta en práctica; este es el caso genérico. Aquí
tenemos la prueba que Cauchy da al teorema de los valores intermediarios
(Cauchy, 1821):
[…] basta hacer notar que la curva de ecuación y=f(x) cortará una o
muchas veces la recta de ecuación y=b en el intervalo comprendido
entre las ordenadas que corresponden a las abcisas x0 y X; es evidentemente lo que pasará en la hipótesis aceptada. Siendo la función
f(x) continua entre los límites x=x0 y x=X, la curva de ecuación
y=f(x), que pasa primero por el punto correspondiente a las coordenadas
(x0, f(x0)), y que luego pasa por el punto correspondiente a las
coordenadas (X, f(X)), será continua entre estos dos puntos; y como
la ordenada constante b de la recta de ecuación y=b se encuentra
comprendida entre las ordenadas f(x0), f(X) de dos puntos considerados,
la recta pasará necesariamente entre estos dos puntos, lo que
no puede hacer sin cortar en el intervalo la curva antes mencionada.
Esta prueba exige la implicación de la experiencia mental en cuanto remite
de hecho a teoremas en acto verificados en la práctica del trazado de curvas
representativas de las funciones continuas más comunes, curvas de cualquier
tipo que no serán interrumpidas en ningún punto (observemos que en
la nota III, Cauchy propone a su clase una demostración “directa y puramente
analítica” de este teorema).
miércoles, 16 de diciembre de 2015
domingo, 13 de diciembre de 2015
Tragamonedas, por Adrián Paenza (libro: ¿Cómo, esto también es matemáticas?
Las máquinas tragamonedas, de las que hay repartidas en todo
el mundo y son bien conocidas por nosotros, produjeron en el
año 2009, sólo en Estados Unidos, 25 mil millones de dólares. Y
esos 25 mil millones están estimados como ganancia. Es decir,
esta suma es posterior a haber pagado a quienes ganaron al jugar
y descontados los impuestos (obviamente altísimos) que aporta el
juego. Sin embargo, aun en esas condiciones, el número es escalofriante.
Y representa la mitad de lo que producen anualmente
todos los casinos de Las Vegas.
Para tener una idea de lo que significa este número, piense en lo que generó la industria del cine (nada menos) en el mismo período: juntando todas las salas estadounidenses y todas las películas que se exhibieron, el total recaudado fue de 10 mil millones de dólares. Es decir, las máquinas tragamonedas produjeron dos veces y media más que Hollywood, con todo el poderío y potencia de sus estudios y luminarias.
Aun así, por más interesante que resulte esta comparación, hay algo que para mí tiene aún más atractivo: ¿quiénes fabrican estas máquinas?, ¿cómo las hacen?, ¿cómo interviene la matemática en todo esto? Por supuesto, los casinos tienen mucho cuidado en no perder de vista que la probabilidad de ganar esté siempre a favor de ellos. Por lo tanto, sea quien fuere quien las diseñe y construya, debe poder garantizar el resultado: “El casino tiene que ganar SIEMPRE”.
Pero las máquinas fueron cambiando. Antes había ruedas y tambores que giraban, dientes que se engarzaban, ejes que había que lubricar. Hoy es todo digital. Y eso trajo una diferencia sustancial en la percepción: en la medida que había algo mecánico involucrado, uno tenía la sensación de que el azar todavía tenía alguna incidencia. Es decir, al hacer girar una ruleta, uno ve cómo gira la bolita en sentido contrario, y la ve saltando de un número a otro hasta depositarse en alguno de ellos. Es como si hubieran entregado una cierta tranquilidad de conciencia: si uno pierde, perdió por mala suerte. Y si gana, también ganó por la suerte.
Pero no hay nada escondido, salvo que el tambor de la ruleta esté “tocado”. Es decir, ganar o perder tiene que ver —en apariencia— con el azar. Ahora, imagine una ruleta digital, en donde se van encendiendo distintas luces a medida que la bolilla imaginaria va girando alrededor de una ruleta virtual. ¿Cómo sabe uno que no hay un programa diseñado ad hoc de manera tal de que pueda detectar cuáles son los números que tienen menos dinero apostado y hacer detener esa bolilla en uno de esos casilleros? Tal como usted supone, ese programa es posible de diseñar e intuyo que para los programadores no debe de ser muy difícil (sí lo es para mí).
Cuando la ruleta y la bolita son tangibles, uno cree que controla. En el mundo digital, esa sensación de control se pierde. Y, aunque uno está dispuesto a someterse a la suerte, ya no se siente tan cómodo si imagina a alguien que puede mover los hilos sin que uno lo advierta. El 70% de las máquinas tragamonedas que se usan en Estados Unidos y el 60% de las que se usan en el resto del mundo se producen en un solo lugar: International Game Technology (IGT). Es una fábrica que está situada en Reno, Nevada, el estado que también cobija a la ciudad más famosa del mundo en este rubro, Las Vegas.
El diseñador de estas máquinas y miembro del directorio de IGT es el matemático Anthony Baerlocher. Egresado de la Universidad de Notre Dame, Baerlocher tiene un objetivo claro: “El programa tiene que ser tan bueno que permita que los casinos ganen dinero SIEMPRE, pero de tal forma que los clientes ganen las sufi cientes veces también de manera tal de que sigan jugando o vuelvan al día siguiente”. No es una tarea fácil. Los casinos funcionan “creyendo en la ley de los grandes números”.
Baerlocher explica: “En lugar de tener una má- quina, los casinos quieren miles, porque saben que cuanto más grande sea el volumen jugado, aunque alguna de las máquinas pierda mucho, el total (de máquinas) tiene una probabilidad muy grande de ganar. IGT produce aparatos diseñados de forma tal que la ganancia está garantizada con un error del 0,5% después de ¡10 (diez) millones de jugadas! Por ejemplo, en el casino de Peppermill (también ubicado en Reno), cada máquina produce 2.000 jugadas por día.
Como ellos tienen cerca de 2.000 tragamonedas, eso signifi ca que llegan a 4 millones de jugadas por día, y, por lo tanto, en dos días y medio llegan a las 10 millones que necesitan para tener la garantía de que tendrán su ganancia con un error del 0,5%. Si la apuesta promedio es de un dólar y el porcentaje de ganancia está estipulado en un 5%, diez millones de jugadas signifi can 500.000 dólares para el casino, con un error potencial de 50.000 dólares cada 60 horas.
Estos números explican el negocio y por qué los casinos tienden a tener cada vez más de estas máquinas”. El desafío para Baerlocher es “tocar” las probabilidades de manera tal de favorecer a los casinos, pero sin descorazonar a los jugadores. Hasta acá, juzgando por el desarrollo que ha tenido IGT, parece que lo ha logrado. Moraleja: Supongo que no escribí nada nuevo, nada que no se supiera de antemano, pero internamente creo que todos tenemos la fantasía de que podremos —algún día— hacer saltar la banca o diseñar una estrategia que permita ganarle al casino. Lamento informar acá que eso es muy muy poco probable que suceda. Casi me atrevería a decir que la probabilidad es ¡cero
Para tener una idea de lo que significa este número, piense en lo que generó la industria del cine (nada menos) en el mismo período: juntando todas las salas estadounidenses y todas las películas que se exhibieron, el total recaudado fue de 10 mil millones de dólares. Es decir, las máquinas tragamonedas produjeron dos veces y media más que Hollywood, con todo el poderío y potencia de sus estudios y luminarias.
Aun así, por más interesante que resulte esta comparación, hay algo que para mí tiene aún más atractivo: ¿quiénes fabrican estas máquinas?, ¿cómo las hacen?, ¿cómo interviene la matemática en todo esto? Por supuesto, los casinos tienen mucho cuidado en no perder de vista que la probabilidad de ganar esté siempre a favor de ellos. Por lo tanto, sea quien fuere quien las diseñe y construya, debe poder garantizar el resultado: “El casino tiene que ganar SIEMPRE”.
Pero las máquinas fueron cambiando. Antes había ruedas y tambores que giraban, dientes que se engarzaban, ejes que había que lubricar. Hoy es todo digital. Y eso trajo una diferencia sustancial en la percepción: en la medida que había algo mecánico involucrado, uno tenía la sensación de que el azar todavía tenía alguna incidencia. Es decir, al hacer girar una ruleta, uno ve cómo gira la bolita en sentido contrario, y la ve saltando de un número a otro hasta depositarse en alguno de ellos. Es como si hubieran entregado una cierta tranquilidad de conciencia: si uno pierde, perdió por mala suerte. Y si gana, también ganó por la suerte.
Pero no hay nada escondido, salvo que el tambor de la ruleta esté “tocado”. Es decir, ganar o perder tiene que ver —en apariencia— con el azar. Ahora, imagine una ruleta digital, en donde se van encendiendo distintas luces a medida que la bolilla imaginaria va girando alrededor de una ruleta virtual. ¿Cómo sabe uno que no hay un programa diseñado ad hoc de manera tal de que pueda detectar cuáles son los números que tienen menos dinero apostado y hacer detener esa bolilla en uno de esos casilleros? Tal como usted supone, ese programa es posible de diseñar e intuyo que para los programadores no debe de ser muy difícil (sí lo es para mí).
Cuando la ruleta y la bolita son tangibles, uno cree que controla. En el mundo digital, esa sensación de control se pierde. Y, aunque uno está dispuesto a someterse a la suerte, ya no se siente tan cómodo si imagina a alguien que puede mover los hilos sin que uno lo advierta. El 70% de las máquinas tragamonedas que se usan en Estados Unidos y el 60% de las que se usan en el resto del mundo se producen en un solo lugar: International Game Technology (IGT). Es una fábrica que está situada en Reno, Nevada, el estado que también cobija a la ciudad más famosa del mundo en este rubro, Las Vegas.
El diseñador de estas máquinas y miembro del directorio de IGT es el matemático Anthony Baerlocher. Egresado de la Universidad de Notre Dame, Baerlocher tiene un objetivo claro: “El programa tiene que ser tan bueno que permita que los casinos ganen dinero SIEMPRE, pero de tal forma que los clientes ganen las sufi cientes veces también de manera tal de que sigan jugando o vuelvan al día siguiente”. No es una tarea fácil. Los casinos funcionan “creyendo en la ley de los grandes números”.
Baerlocher explica: “En lugar de tener una má- quina, los casinos quieren miles, porque saben que cuanto más grande sea el volumen jugado, aunque alguna de las máquinas pierda mucho, el total (de máquinas) tiene una probabilidad muy grande de ganar. IGT produce aparatos diseñados de forma tal que la ganancia está garantizada con un error del 0,5% después de ¡10 (diez) millones de jugadas! Por ejemplo, en el casino de Peppermill (también ubicado en Reno), cada máquina produce 2.000 jugadas por día.
Como ellos tienen cerca de 2.000 tragamonedas, eso signifi ca que llegan a 4 millones de jugadas por día, y, por lo tanto, en dos días y medio llegan a las 10 millones que necesitan para tener la garantía de que tendrán su ganancia con un error del 0,5%. Si la apuesta promedio es de un dólar y el porcentaje de ganancia está estipulado en un 5%, diez millones de jugadas signifi can 500.000 dólares para el casino, con un error potencial de 50.000 dólares cada 60 horas.
Estos números explican el negocio y por qué los casinos tienden a tener cada vez más de estas máquinas”. El desafío para Baerlocher es “tocar” las probabilidades de manera tal de favorecer a los casinos, pero sin descorazonar a los jugadores. Hasta acá, juzgando por el desarrollo que ha tenido IGT, parece que lo ha logrado. Moraleja: Supongo que no escribí nada nuevo, nada que no se supiera de antemano, pero internamente creo que todos tenemos la fantasía de que podremos —algún día— hacer saltar la banca o diseñar una estrategia que permita ganarle al casino. Lamento informar acá que eso es muy muy poco probable que suceda. Casi me atrevería a decir que la probabilidad es ¡cero
sábado, 12 de diciembre de 2015
miércoles, 9 de diciembre de 2015
Design Thinking
Cuando hablamos de “Design Thinking” nos referimos a un proceso que busca la innovación en cualquier proceso (ya sea en el marco de una empresa, de un colegio, o en cualquier otro entorno), cuya finalidad es responder a las necesidades de las personas que conviven en ese entorno y que utiliza la tecnología y el diseño como base para conseguir lograr sus objetivos.
Para ponerlo en práctica podemos identificar en él seis pasos fundamentales. Son los siguientes:
Observación. En este primer momento se busca identificar las necesidades de los usuarios mediante la observación directa. La observación puede ser directa, o se puede realizar mediante entrevistas. Lo realmente importante es detectar las necesidades que tienen los alumnos a los que nos dirigimos.
Comprensión. Una vez que finaliza la fase de observación comienza la fase de análisis de datos. Esta fase tiene como objetivo identificar no solo las necesidades de los usuarios, sino también sus motivaciones, sus sentimientos y los valores en los que se asientan estos sentimientos.
Definición. Se trata de identificar una posición, un punto de vista, desde el cual se pueda observar con las menos interferencias posibles el problema que se desea tratar y que además permita lograr el mayor grado de comprensión del mismo.
Ideación. Este momento es clave dentro de la metodología Design Thinking. En él se trabaja en gran grupo, mediante la metodología de lluvia de ideas, para intentar definir una o varias posibles soluciones al problema que se trata de resolver.
Prototipación. En esta fase las ideas cobran vida y se desarrollan físicamente para implementarlas en el aula.
Probar. En esta última fase los alumnos investigan sobre el efecto de sus prototipos y, mediante la retroalimentación a partir de la información que obtienen de sus compañeros, realizan los ajustes necesarios para optimizarlos y así lograr obtener el mayor rendimiento posible de ellos.
El Design Thinking implica una serie de valores que a su vez tienen un gran valor dentro de la escuela. Son los siguientes:
Ser visual frente a ser teórico. Los diseñadores (en nuestro caso nuestros alumnos), deben hacer uso del dibujo para lograr identificar los problemas, señalar las causas y plantear soluciones.
y además hacerlo con una mayor intensidad y motivación, frente a la simple presentación de un texto escrito.
Iterar. Se busca la prueba constante. Los problemas en el aula rara vez tienen una única solución. El planteamiento de diferentes soluciones, la comunicación constante entre los alumnos y la prototipación como medio para buscar soluciones les permite encontrar respuesta a las cuestiones que irán encontrando en el camino.
Ser multidisciplinar. Los verdaderos problemas exigen de la participación de varias disciplinas diferentes. La integración de todas ellas en la búsqueda de soluciones y el encontrarnos con una capa superior de diseño que busca responder a las necesidades de los alumnos es la clave del éxito del Design Thinking.
Por último, el proceso de comunicación y discusión basado en la lluvia de ideas se debe desarrollar bajo las siguientes prerrogativas:
Utiliza post-it para recoger las ideas de cada alumno y emplea una pared del aula para que cada uno pueda colocar sus ideas y hacerlas visibles al resto de compañeros.
Aplaza las decisiones críticas. Las decisiones no deben tomarse en caliente. Este proceso implica razonamiento y maduración de las ideas. Deja que tus alumnos piensen, que reflexionen y que, entre todos, decidan más adelante qué decisiones se deben tomar.
Durante la lluvia de ideas debe primar la cantidad sobre la calidad. No ofrezcas a tus alumnos un entorno en el que solo puedan presentar una idea largamente reflexionada. Frente a esto, crea un ambiente en el que no tengan miedo a presentar tantas ideas como les vengan a la cabeza y permíteles también que puedan debatir cada una de ellas con sus compañeros.
Alimenta su imaginación y premia las “ideas locas”. Muchas veces la solución a un problema es una idea genial que lo resuelve gracias a su alto nivel de creatividad y de innovación. Alimenta en tus alumnos la necesidad de ser creativos y de expresar las ideas que se les puedan ocurrir.
Solo se puede desarrollar una conversación cada vez. Durante la lluvia de ideas todos los alumnos deben prestar atención a lo que tengan que decir sus compañeros. Esto solo se puede conseguir si solo se produce una conversación cada vez, respetando los turnos para hablar e impidiendo las interrupciones que se podrían producir sin este sistema.
Enséñales a crear de manera conjunta. Las ideas no son propiedad de cada alumno. Enséñales a debatir, a mejorar las ideas que escuchen de sus compañeros, a llegar a consensos , por último, a escribir en el post-it lo que se ha acordado de manera conjunta. El Design Thinking funciona cuando todo el grupo se involucra, no es una acción individual en la que un único alumno pueda o deba destacar frente al resto.
Visualiza las ideas. Cuando se llegue a un consenso, pide a tus alumnos que dibujen esa solución o idea que han tenido. Mediante este dibujo podrán ver si la solución se puede desarrollar con los medios que se disponen o si, por el contrario, su desarrollo es inviable.
Con esta metodología puedes conseguir solucionar muchos problemas en el aula otorgando a tus alumnos un protagonismo fundamental. Si te animas a ponerlo en práctica, te ofrecemos un conjunto de actividades con las que puedes iniciarte en esta metodología. ¿Te atreves a utilizarlas en el aula?
martes, 8 de diciembre de 2015
Finlandia
Finlandia elimina las asignaturas en 2016
Primero fue la caligrafía y ahora las asignaturas. El sistema educativo finlandés, conocido como uno de los mejores del mundo, prepara un cambio radical con el que espera mejorar la calidad de sus escuelas: la abolición de las distintas materias.
A partir de 2016, todos los centros de enseñanza del país nórdico empezarán a aplicar un método nuevo conocido como Phenomenon Based Learning. Bajo este sistema, las clases tradicionales serán desplazadas por proyectos temáticos en los que los alumnos se apropiarán del proceso de aprendizaje.
Según ha asegurado a la BBC Marjo Kyllonen, gerente de educación de Helsinki, “en la educación tradicional, los alumnos van a su clase y tienen clases de matemáticas, después de literatura y luego de ciencias. Ahora, en lugar de adquirir conocimientos aislados sobre diferentes materias, el papel de los estudiantes es activo. Ellos participan en el proceso de planificación, son investigadores y también evalúan el proceso”.
Según Kyllonen, “el motivo de este cambio es que la forma tradicional de educación, dividida entre diferentes materias, no está preparando a los niños para el futuro, cuando necesitarán una capacidad de pensamiento interdisciplinaria, mirar a los mismos problemas desde distintas perspectivas y usando herramientas de distintos tamaños”.
“Alumnos investigadores y “profesores mentores”
Los cambios en el sistema educativo en Finlandia también implican importantes cambios para los profesores, que ya no tendrán el control acostumbrado sobre sus cursos. A partir de ahora deberán aprender a trabajar de forma colaborativa con sus alumnos y con otros docentes. Su trabajo dejará de basarse tanto en clases magistrales y será más parecido al trabajo de un mentor o de un coach que al de un catedrático. Por eso, hasta marzo de este año, el 70% de los profesores de Helsinki habían recibido formación para poder aplicar este nuevo método.
Según ha explicado Kyllonen, “no se trata de que los profesores puedan simplemente sentarse atrás y ver que pasa”. Su papel es aún más importante que en el sistema tradicional, así que deben tener mucho cuidado en cómo aplican este método”.
“Aprendizaje por proyectos”
El modelo que se implantará el año que viene en Finlandia es muy similar a lo que en España se conoce como el “Aprendizaje por proyectos”. Un plan que se está llevando a cabo en muchos colegios en la etapa de Infantil (de 3 a 5 años), aunque son muy pocos los que se atreven a aplicarlo en Primaria.
Algunos colegios aseguran hacerlo, pero continúan con la distinción por asignaturas y los tradicionales libros de texto, lo que convierte el curso en una maratón agotadora para alumnos y profesores, que tienen que preparar los proyectos, seguir el temario de los libros de texto, hacer y corregir exámenes… ¡Una locura!
El nuevo modelo de los jesuitas
Los colegios de jesuitas de Cataluña, en los que estudian más de 13.000 alumnos, han comenzado a aplicar recientemente un sistema similar. Este año están implantando un nuevo modelo de enseñanza que ha eliminado asignaturas, exámenes y horarios y ha transformado las aulas en espacios de trabajo donde los niños adquieren los conocimientos haciendo proyectos conjuntos.
Los jesuitas, que en Cataluña cuentan con ocho colegios, han diseñado un nuevo modelo pedagógico en el que han desaparecido las clases magistrales, los pupitres, los deberes y las aulas tradicionales. El proyecto ha comenzado en quinto de primaria y primero de ESO en tres de sus escuelas y se irá ampliando al resto.
Para llevar a cabo el proyecto, que lleva por nombre “Horizonte 2020”, los jesuitas han derribado las paredes de sus aulas y las han transformado en grandes espacios para trabajar en equipo, unas ágoras en las que hay sofás, gradas, mucha luz, colores, mesas dispuestas para trabajar en grupo y acceso a las nuevas tecnologías.
Caracol Matemático 2
Esta es una revista Loca, loca, loca, despaturrada, porque es de Mates!
Una revista EXPERIMENTAL !!!!
Un vistazo a las matemáticas que se hacen comunitariamente en la Escue, eso si:
No intente encontrarle ni patas ni cabezas!
LINK: Caracol Matemático 2
lunes, 7 de diciembre de 2015
El Sapo (The Frog) - Documental Potente, en que se muestran ETNOMATEMATICAS ....
"Etnomatemáticas":
Es el estudio de las prácticas matemáticas de grupos socioculturales. Dirige su atención no sólo a grupos étnicos, sino también a subgrupos dentro de diversas sociedades, como los grupos profesionales, las comunidades locales, los grupos cohesionados por tradiciones, los estratos sociales, los grupos religiosos, etc.
El término etnomatemáticas fue acuñado por el estudioso brasileño Ubiratan D' Ambrosio.
Una amiga de gran sabiduría nos comparte lo que siente hoy respecto de lo que son las Etnomatemáticas:
La Etnomatemática es un enfoque de investigación y de formación que estudia las prácticas matemáticas de los grupos socioculturales cualesquiera que sean: comunidades locales, pueblos indígenas, grupos profesionales, grupos etáreos, etc.
Surge al observar que todos los grupos humanos representan y modelizan (matematizan) las regularidades de su entorno social y natural desde sus particulares formas de ver y de sentir el mundo. Algunos de los conocimientos surgidos a través de algunas de esas representaciones fueron sistematizados y transformados en la disciplina que conocemos como matemáticas, pero en la vida cotidiana de cada grupo humano cobran vida conocimientos matemáticos disciplinares e indisciplinares.
La Etnomatemática entonces es un enfoque de investigación que se ocupa de estudiar las diversas maneras de matematizar la realidad. En este término el prefijo “etno” alude al entorno y no a las etnias como se cree comúnmente. El término Etnomatemáticas fue acuñado por el estudioso brasileño Ubiratan D' Ambrosio y lo compuso señalando que son las técnicas que utilizamos para conocer nuestro entorno.
La Etnomatemática ha contribuido a preservar los conocimientos y prácticas matemáticas de pueblos y comunidades, y a desarrollar una educación matemática respetuosa de la diversidad sociocultural de comunidades y sociedades.
"El Sapo":
Parado en medio de la calle, en la intersección de los vehículos de transporte público y privado, "El sapo" anota en un cuaderno, mira su reloj y grita informaciones enigmáticas a los choferes, de los que recibe monedas como pago por sus servicios. Filmando desde distintos ángulos y distancias con una cámara que se instala fuera del horizonte convencional, este documental transgrede reglas visuales y narrativas para entregar fragmentos de la vida de un personaje que ejerce con alegría y desenfado un oficio que la modernidad exterminará muy pronto.
"El Sapo" de Cristián Vidal, ha ganado numerosos premios como por ejemplo: el Festival de Cine de La Serena, como Mejor Documental Regional.
BLOG: Blog de Cristián Viudal
Es el estudio de las prácticas matemáticas de grupos socioculturales. Dirige su atención no sólo a grupos étnicos, sino también a subgrupos dentro de diversas sociedades, como los grupos profesionales, las comunidades locales, los grupos cohesionados por tradiciones, los estratos sociales, los grupos religiosos, etc.
El término etnomatemáticas fue acuñado por el estudioso brasileño Ubiratan D' Ambrosio.
Una amiga de gran sabiduría nos comparte lo que siente hoy respecto de lo que son las Etnomatemáticas:
La Etnomatemática es un enfoque de investigación y de formación que estudia las prácticas matemáticas de los grupos socioculturales cualesquiera que sean: comunidades locales, pueblos indígenas, grupos profesionales, grupos etáreos, etc.
Surge al observar que todos los grupos humanos representan y modelizan (matematizan) las regularidades de su entorno social y natural desde sus particulares formas de ver y de sentir el mundo. Algunos de los conocimientos surgidos a través de algunas de esas representaciones fueron sistematizados y transformados en la disciplina que conocemos como matemáticas, pero en la vida cotidiana de cada grupo humano cobran vida conocimientos matemáticos disciplinares e indisciplinares.
La Etnomatemática entonces es un enfoque de investigación que se ocupa de estudiar las diversas maneras de matematizar la realidad. En este término el prefijo “etno” alude al entorno y no a las etnias como se cree comúnmente. El término Etnomatemáticas fue acuñado por el estudioso brasileño Ubiratan D' Ambrosio y lo compuso señalando que son las técnicas que utilizamos para conocer nuestro entorno.
La Etnomatemática ha contribuido a preservar los conocimientos y prácticas matemáticas de pueblos y comunidades, y a desarrollar una educación matemática respetuosa de la diversidad sociocultural de comunidades y sociedades.
"El Sapo":
Parado en medio de la calle, en la intersección de los vehículos de transporte público y privado, "El sapo" anota en un cuaderno, mira su reloj y grita informaciones enigmáticas a los choferes, de los que recibe monedas como pago por sus servicios. Filmando desde distintos ángulos y distancias con una cámara que se instala fuera del horizonte convencional, este documental transgrede reglas visuales y narrativas para entregar fragmentos de la vida de un personaje que ejerce con alegría y desenfado un oficio que la modernidad exterminará muy pronto.
"El Sapo" de Cristián Vidal, ha ganado numerosos premios como por ejemplo: el Festival de Cine de La Serena, como Mejor Documental Regional.
BLOG: Blog de Cristián Viudal
Matilde de 7mo., nos manda esta divertida mirada .... 7mo. Medio
Son pequeñas identidades diferenciales (ecuaciones diferenciales), que se ven en cursos avanzados de álgebra/cálculo ..... en institutos y universidades de formación superior ....
en el siguiente video, se muestran espacios de la vida real, donde estas ecuaciones y otras ecuaciones matemáticas gobiernan los fenómenos sin que nos demos cuenta de ello:
jueves, 3 de diciembre de 2015
miércoles, 2 de diciembre de 2015
martes, 1 de diciembre de 2015
domingo, 29 de noviembre de 2015
Mecánica Cuántica y Probabilidad
La experimentación muestra que por más precisas que sean las mediciones, nunca podremos predecir con certeza donde está ubicada una partícula, sino sólo estimar la probabilidad de encontrarla en tal o cual región del espacio.
miércoles, 25 de noviembre de 2015
Hipótesis de Riemann
Un científico nigeriano ha resuelto la hipótesis de Riemann, un problema matemático que fue considerado un enigma durante 156 años. Por el descubrimiento, el investigador recibirá un millón de dólares de recompensa, informan medios nigerianos.
El doctor Opeyemi Enoch, de la Universidad Federal Oye-Ekiti (Nigeria), ha solucionado un problema matemático que fue un misterio desde que lo presentó en 1859 el matemático alemán Bernhard Riemann, comunica el periódico nigeriano Vanguardngr.
La hipótesis de Riemann, que tiene que ver con la distribución de los números primos, ha sido valorada como uno de los problemas matemáticos más difíciles del mundo, formando parte de la lista de los siete Problemas del Milenio del Instituto Clay de Matemáticas. La solución de cualquiera de ellos supone un premio de un millón de dólares.
De acuerdo con Enoch, en 2010 pudo hacer un avance que posteriormente le permitió resolver el enigma. Desde entonces, según él, su mayor estímulo no era la recompensa económica, sino la fe que tenían en él sus estudiantes detalla la misma fuente.
martes, 24 de noviembre de 2015
lunes, 23 de noviembre de 2015
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