El último Teorema de Fermat (Por Adrián Paenza)

El último teorema de Fermat

No permita que la palabra “teorema” lo intimide. Déjeme contarle una historia fascinante. En realidad, es una historia que podría terminar convertida en una película de Hollywood y, por supuesto, en varios libros (algunos ya se han escrito). Es que contiene todos los ingredientes necesarios para el éxito: drama, intriga, pasión e incertidumbre, pero, además, lo que la hace todavía más atractiva es que involucra al mundo de la ciencia... y entonces todo puede volverse desde más creíble hasta más intimidatorio y controversial. En todo caso, es la historia más famosa del mundo de la matemática. Hay gente que dedicó su vida a probar que algo era cierto. y otros tantos que la dedicaron a probar lo contrario. Lo que sigue, entonces, son los detalles.
Pierre de Fermat vivió entre 1601 (o 1607, o 1608. la fecha de su nacimiento es dudosa) y 1665. Nació cerca de Toulouse, Francia, y se recibió de abogado en la Universidad de Orleans. Hablaba varios idiomas: latín, griego, italiano, español y, obviamente, francés. ^[1] Sin embargo, si bien su palabra y su opinión eran muy buscadas dentro del ámbito del derecho, hizo su aporte más importante a la historia de la humanidad como matemático. 

Curiosamente, Fermat no se consideraba a sí mismo como tal. De hecho, hacía sus afirmaciones a través de cartas a sus amigos (Pascal, entre otros) y, en general, tendía a no ofrecer las clásicas demostraciones que los matemáticos consideran (consideramos) imprescindibles para que algún aporte sea juzgado válido. Eso le garantizaba, en algún sentido, la vigencia de su condición de amateur. Fermat no se sentía obligado a hacer lo que tenían que hacer todos los demás: probar lo que decía.Algunas veces lo hacía. Otras (muchas), no. 

Esto no pretende quitarle ningún mérito, ya que con el tiempo Fermat se convertiría en el padre de lo que hoy se denomina la teoría de números, que es la que estudia -entre otras cosas- las propiedades de los números enteros. De hecho, él se habrá considerado un amateur, pero sus ideas revolucionaron una parte de la ciencia. Sus cartas con Pascal fueron el origen de la teoría de probabilidades. Y virtualmente transformó todo lo que tocó en matemática. 

Pero lo que Fermat nunca soñó (creo) fue que terminaría haciendo -involuntariamente- un aporte inigualable. En 1650 escribió una nota en el margen de un libro que estaba leyendo (Arith- metica, de Diofantino) en la que afirmaba que la ecuación

aⁿ + bⁿ = cⁿ (1)

no tenía solución (para números enteros a, b y c mayores que 0) para n mayores que 2. Y agregaba que ese margen era demasiado pequeño para escribir la demostración. 
Lo curioso es que Fermat se murió y nunca llegó a publicar la justificación de lo que decía. Su hijo, muchos años después, hizo pública una copia de lo que su padre había escrito en el margen del libro (el original nunca apareció) y eso iniciaría la verdadera historia. Poco antes de morir, Fermat dejó planteadas varias incógnitas que con el tiempo se fueron comprobando. Con una excepción... una sola excepción: lo que se empezó a conocer con el nombre de “La conjetura de Fermat”. ^[2] 

Los matemáticos más importantes de la historia (Euler, Dirichlet, Gauss, Lamé, Kummer, Sophie Germain..., entre otros) intentaron probarla pero no pudieron. Se resolvían casos particulares, sí, pero no se encontraba la solución general. Ya no eran sólo algunos años, sino que empezaron a pasar siglos y la pregunta seguía vigente: lo que había dicho Fermat ¿era cierto o falso? 

Lo más frustrante era que el enunciado del problema resultaba tan sencillo que generaba fastidio no poder resolverlo. Hasta que apareció en escena Andrew Wiles (nacido en Cambridge, Inglaterra, en abril de 1953). Cuando tenía 10 años, un maestro de matemática de la escuela les contó a los alumnos sobre este problema que había enloquecido a los especialistas por más de trescientos años y que se conocía con el nombre de “La conjetura de Fermat”. 

Wiles, según su propia confesión, se propuso ser matemático y fantaseó con ser él quien lo resolviera. En 1975 empezó su carrera como investigador, pero fue en 1986 cuando -ya como profesor en Princeton- decidió dedicar entre doce y catorce horas diarias a desentrañar la solución del problema. Sin embargo, no quería comunicar a sus colegas lo que estaba haciendo, porque creía que todos lo entenderían como una pérdida de tiempo. Sólo su mujer, Nada Canaan, sabía lo que hacía en el altillo de su casa. Su rutina diaria lo llevaba a la facultad, donde tenía alumnos y dictaba su curso semestral, y mantenía una vida supuestamente normal. 

Wiles comprendía que resolver el problema en sí mismo no serviría para nada útil, en el sentido mercantil de la palabra. Pero, como ocurre con todos los científicos, lo importante no necesariamente es encontrar la solución sino valorar y disfrutar de las herramientas que se desarrollan en el camino de la búsqueda. De eso se trataba (y se trata): de generar más matemática, que sirva (o no) para este caso particular, pero que, en el camino, permita que la ciencia avance en múltiples direcciones. 
Después de seis años de virtual aislamiento, Wiles necesitó la ayuda de especialistas en otras áreas. Sus ideas eran tan novedosas que terminó ligando ramas de la matemática que no parecían tener relación hasta ese momento. Finalmente, en 1993, Wiles creyó que tenía “la prueba”. Y se propuso contarla en un ciclo de tres conferencias que daría en Princeton. 
La sala se encontraba abarrotada de gente, porque si bien no estaba anunciado el verdadero motivo de la charla, el rumor ya se había filtrado y la comunidad matemática esperaba un anuncio espectacular. Las tres conferencias ocuparon tres días y, para finalizar la última, Wiles escribió en el pizarrón la famosa “Conjetura de Fermat”. Dejó la tiza apoyada en uno de los bordes y dijo: “Creo que voy a parar acá”. El auditorio se puso de pie y aplaudió durante varios minutos. La noticia era/fue tan trascendente que apareció en la tapa de los diarios más importantes del mundo, empezando por el New York Times. Había caído la última pared. La “Conjetura...” dejaba de ser tal. Ahora se había convertido en un Teorema. 

Pero no tan rápido. Para que una afirmación científica sea aceptada como verdad necesita la aprobación de los colegas, el monitoreo y el arbitraje independientes. Es decir, matemáticos expertos en el tema se disponen a leer exhaustivamente todo lo que está escrito para dar su consentimiento final. O sea: no alcanza con decir “ya lo terminé” o “ya lo probé” para que la prueba sea considerada válida. 

Y ahí empezó otra pequeña odisea. Después de tanto entusiasmo y con el mundo expectante por la publicación, los referís no daban por concluida su tarea. Uno de ellos, Nick Katz, había encontrado algo que no entendía. Lo envió como pregunta al propio Wiles para que se lo aclarara, pero éste se dio cuenta rápidamente de que lo que Katz le estaba diciendo era que la prueba tenía un “agujero” (un error o bien algún razonamiento que no estaba bien justificado). 
Era septiembre de 1993 y la mujer de Wiles le dijo: “Ahora, la única cosa que quiero como regalo de cumpleaños es que corrijas el ‘error’. Quiero ‘la prueba correcta’”. El propio Wiles, cuando cuenta la historia, dice que su esposa cumple años el 6 de octubre. Sólo le quedaban entre dos y tres semanas. Pero no, no alcanzó. No hubo humo blanco. 
Wiles comenzó a desesperar. Los árbitros no podían mantener más tiempo escondido el error. Al final, terminaron comunicándolo. Durante los siete años en los que Andrew había lidiado solo con el problema nunca había tenido que dar cuenta de sus avances ni de sus retrocesos. Desde las charlas en Princeton cada día era un calvario. 
Un año después, con la ayuda de uno de sus estudiantes, Richard Taylor, Wiles se sintió tentado de anunciar que se daba por vencido. Pero la mañana del 19 de septiembre de 1994 tuvo una idea. Le corrió un sudor frío por el cuerpo porque advirtió lo que había pasado: había encontrado la solución. Ahora sí, los referísestuvieron de acuerdo y la prueba fue aceptada como tal. La reina de Inglaterra lo nombró “Sir Andrew Wiles” y su nombre pasó a engrosar la lista de los matemáticos más famosos e importantes de la Historia. 

Es muy poco probable que lo que a Fermat no le hubiera entrado en el margen fuera la demostración correcta. En cualquier caso, es irrelevante. La moraleja será siempre que la solución en sí misma es la zanahoria que estimula, el motor del pensamiento... pero nunca es el objetivo último. En el trayecto se abren nuevos caminos y se desarrollan nuevas herramientas, que quizá resulten estériles en la búsqueda de esasolución en particular, pero que son los cimientos de la nueva ciencia. 
El problema es realmente muy sencillo de entender (véase la ecuación (1)). El teorema de Pitágoras dice que “en un triángulo rectángulo (que tenga un ángulo recto, como en una escuadra.), el cuadrado de la hipotenusa (el lado más largo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

Figura 1

Por ejemplo, si (como se ve en la figura 1) los lados del triángulo rectángulo miden 3 y 4 metros respectivamente, entonces, como

3² + 4² = 9 + 16 = 25

y

25 = 5²

la hipotenusa tiene que medir 5 metros. Luego:

3² + 4² = 5²

De estas ternas (3, 4, 5) se pueden encontrar infinitas. Lo que Fer- mat dijo es que si uno cambia el cuadrado por cualquier otro número, es decir, si uno toma la igualdad

xⁿ + yⁿ = zⁿ

y la quiere comprobar para algún otro número n que no sea 2 (como en el caso de Pitágoras), no lo va a encontrar: no existe. O sea, Fermat conjeturó: “No existen números enteros positivos n, salvo el 2, tal que sea válida la ecuación

xⁿ + yⁿ = zⁿ. ^[3]

Y tenía razón.

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Notas:

^[1] Carlos D'Andrea apunta que quizá no hablara el “francés” tal como lo conocemos hoy, ya que éste recién fue adoptado después de la revolución de 1789. En todo caso, quizás hablaba en “provenzal” u “occitano”.

^[2] Lo que fue la conjetura de Fermat hoy adquirió la categoría de teorema, luego de que Wiles confirmara que lo que Fermat había conjeturado era correcto.

^[3] Para x, y, z números enteros mayores que cero.