Respuesta: Mirar el Link: Solución en psu-matematicas.blogspot.com
Fuente: PSU - DEMRE
NEM: Primero Medio
Eje Temático: III.) Geometría.
CMO: Congruencia.
miércoles, 20 de agosto de 2014
Desafío CONGRUENCIA - 1ro. Medio
Respuesta: Mirar el Link: Solución en psu-matematicas.blogspot.com
Fuente: PSU - DEMRE
NEM: Primero Medio
Eje Temático: III.) Geometría.
CMO: Congruencia.
"La ética en el pensamiento y obra pedagógica de Loris Malaguzzi" - por Alfredo Hoyuelos
Todos(as) sabemos que la Escuela Francisco Varela es UN EXPERIMENTO. Responsable, amoroso, cuidadoso de sus pasos, pero un experimento al fin .... ¿y qué es vivir sino experimentar?
Uno de los elementos que más distingue esta mirada relativa a lo experimental, es que en nuestras aulas hay convergencia de miradas, herramientas y experiencias pedagógicas: lo Montessori, lo Waldorf, el enfoque liberador de Freire, los alcances pedagógicas de la cosmovisión Budista, el apoyo venido desde las neurociencias ..... y ..... la impresionante aportación de la obra pedagógica de Loris Malaguzzi ....
He aquí un libro necesario de leer y releer ....
Loris Malaguzzi buscaba "la pasión de la razón" en la construcción de la "utopía de lo cotidiano", es decir, donde cada día era una forma concreta de utopía realizada.
Malaguzzi proclamaba: "los niños y niñas son ciudadanos y ciudadanas del HOY, y no sólo una "inversión" para el futuro".
Cuando Loris Malaguzzi habla de "el ojo se salta el muro: pedagogía de lo posible", estaba claramente haciendo un llamado a trascender los muros de las escuelas, es decir, las escuelas tienen incidencia en el mejor caminar del universo, pero a la vez nos estaba diciendo, que lo posible dentro de nosotros se genera por el encuentro con lo imprevisto, la duda, la incertidumbre ....
En el libro se citan tres elementos que caracterizan la vida y la obra de Malaguzzi:
1) el obstinado acento en la EDUCABILIDAD del ser humano.
2) el compromiso directo en favor del tema de la justicia entre los seres humanos.
3) una coherencia interna entre pensamiento y acción por encima de fracasos e impopularidades.
Su mensaje con profundas raíces socialistas ("siendo Malaguzi un hombre de parte, no de partido"), se convertía no sólo en un espacio de adquisición de cultura sino de producción de cultura que imbricaba a todos los actores (familia, comunidad, instituciones culturales, individuaciones culturales) en la búsqueda compartida de participación, ciudadanía y democracia.
Un poco en torno a Malaguzzi (tomado del texto):
¿Dónde nace?: Corregio 1920, Italia y muere en Reggio Emilia 1994.
Profesión principal: maestro por decisión familiar y luego por convencimiento cultural.
Otros "oficios": periodista, crítico y director teatral, comunista libre y por sobretodo pedagogo NO ortodoxo (un pedagogo fuera de la pedagogía).
¿Qué es Reggio Emilia?: Es una ciudad italiana en donde Malaguzzi impulsó sus nuevas miradas en las escuelas municipales de la ciudad, en el contexto post-guerra, de la segunda guerra mundial ....
"Malaguzzi tuvo la suerte de crecer ideológicamente con personas y con una ciudad que creyó en la educación como la mejor manera de formar generaciones más libres, que odiasen "la obediencia" que la tradición fascista había impuesto y que aceptasen la transgresión apoyada en conceptos que la convirtiesen en creativa." (....)
"Para Malaguzzi conformismo y resignación no eran dos palabras de su vocabulario." (....)
"Sus ojos, sus palabras y su rostro revelaban la imagen de un guerrillero, de un luchador, de un partisano antifascista. La guerra marcó, con su absurdo, la elección de una profesión que creía con optimismo en un futuro más humano ...." (....)
Solamente para dejar en expansión el interés tuyo ..... Miren el cuadro en el que se resumen los elemenbtos centrales de su ÉTICA:
Poema de Loris Malaguzzi:
EN CAMBIO EL CIEN EXISTE.
El niño y la niña
están hechos de cien.
El niño (la niña) tiene
cien lenguas
cien manos
cien pensamientos
cien maneras de pensar
de jugar y de hablar
cien siempre cien
maneras de escuchar
de sorprenderse de amar
cien alegrías
para cantar y entender
cien mundos
que descubrir
cien mundos
que inventar
cien mundos
que soñar.
El niño (la niña) tiene
cien lenguas
(y además cien cien cien)
pero le roban noventa y nueve.
La escuela y la cultura
le separan la cabeza del cuerpo.
Le dicen:
de pensar sin manos
de actuar sin cabeza
de escuchar y no hablar
de entender sin alegría
de amar y sorprenderse
sólo en Pascua y Navidad.
Le dicen: que descubra el mundo que ya existe
y de cien le roban noventa y nueve.
Le dicen:
que el juego y el trabajo
la realidad y la fantasía
la ciencia y la imaginación
el cielo y la tierra
la razón y el sueño
son cosas que no van juntas.
Y le dicen
que el cien no existe.
El niño y la niña dicen:
en cambio el cien existe.
martes, 19 de agosto de 2014
Lewis Carrol - El Matemático bromista
Si en la escuela Francisco Varela, ves pasar un conejo con aire apresurado, con ojos rosados, mirando un reloj y lamentándose: ¡Ay Dios mío! .... NO dudes en seguirlo, te llevará a un mundo fantástico.
Es el mundo de un joven profesor de matemáticas británico, que creo en 1862, el mundo maravilloso de Alicia.
Lewis Carrol, o más precisamente Charles Lutwidge Dodgson, se decidió a los 30 años de edad, publicar en 1865, las aventuras de Alicia en el país de las maravillas. Carrol financió por entero su obra, porque no quería que el editor del libro perdiera dinero.
En su libro más conocido (Alicia en el país de las maravillas) y en "Alicia a través del espejo", mezcló audaz absurdo y rigor, imaginación delirante y sentido común, características propias del mundo infantil.
Mientras Charles Dodgson dejaba actuar libremente a su doble Lewis Carrol, él publicaba con su verdadero nombre varias obras de matemáticas y de lógica, una de ellas dedicada a los niños y niñas: "El juego de la Lógica".
Alicia en el país de las maravillas está lleno de guiños matemáticos, porque le era imposible separar sus dos amores esenciales: la literatura y las matemáticas ....
lunes, 18 de agosto de 2014
Expansión del Universo y Directa Proporcionalidad
Del Comic: "COSMICOMIC - El descubrimiento del Big Bang"
Autores: Texto: Amedeo Balbi ; Imágenes: Rossano Piccioni
Editorial: Salamandra Graphic.
Año 2014
151 páginas
Como es poco legible, cuento la idea de esta parte ....
Es una conversa entre Albert Einstein con Milton Humason y Edwin Hubble ....
Una de las viñetas dice:
" Pero hay más. Hemos hallado una ley de
proporcionalidad directa entre la velocidad
a la que las galaxias parecen alejarse de nosotros
y su distancia ".
Esto lo podemos explicar así:
Pensemos que hay un punto central desde donde se originó la expansión. Obviamente las galaxias más alejadas de ese punto necesitan tener más volocidad para llegar más lejos, que las que no están tan alejadas ....
Pensamos en el siguiente cuadro:
Las galaxias que van a doble distancia, necesitan llevar doble velocidad, hay proporcionalidad entre distancia y velocidad.
Matemáticas en la Grecia Clásica - Mates en Comics - 7mo.
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| Hacer doble click en la imagen para agrandar .... Esta imagen fue tomada de: Historia de las matemáticas en Comics |
domingo, 17 de agosto de 2014
Hablemos de Pitágoras - 7mo.
Todos hemos oído al menos hablar del Teorema de Pitágoras: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Este teorema ya forma parte de la cultura popular, hasta el extremo de que lo cita el Mayor General en "Los piratas de Penzance", el espantapájaros de "El Mago de Oz" y hasta Homero en "Los Simpson". De hecho, se dice que Pitágoras forma parte de nuestra psique.
Pitágoras fue un filósofo místico y un matemático, de origen griego, demás fue un carismático líder que logró reunir seguidores en una secta secreta. Vivió en torno al siglo V antes de Cristo. Creía que los números tenían propiedades místicas y mágicas sobre las cuales se podía meditar para después recibir de ellos una revelación.
Su método de enseñanza era oral y no existen documentos escritos contemporáneos lo cual debió acrecentarse por la naturaleza secreta de su colectivo. Lo que se sabe de Pitágoras se debe a Cicerón y a otros autores que escribieron sobre su obra varios siglos después de su muerte.
Biografía de Pitágoras:
================
Pitágoras nación en Samos en torno al año 570 a.C. y vivió hasta los 75 u 80 años.Fue un gran viajero e investigó sobre conceptos filosóficos, místicos y matemáticos en Egipto, Babilonia y quizás en la India. Se estableció en Crotona desde donde difundió sus ideas religiosas y políticas. Llevó una vida ascética. Creía en la metempsicosis, la reencarnación del alma en animales, humanos y plantas hasta alcanzar la pureza.
Pitágoras y sus seguidores formaron una hermandad exclusiva con prácticas religiosas secretas. Era una especie de institución académica que incluía a mujeres y hombres, y en la que se compartían las propiedades Los miembros juraban votos de orden. Existía un círculo interno de "aprendices" y uno externo de "oyentes".
Los primero tenían acceso a las ideas de Pitágoras, mientras que los segundos recibían resúmenes. Comían en grupos de a 10 y participaban en ejercicios diarios y actividades musicales. El célebre cuadro de Rafael sobre la escuela de Atenas aporta una visión de esta hermandad, cuya exclusividad seguramente provocó envidias en Crotona hasta el punto que Pitágoras finalmente tuvo que huir. Se creen que murió en Metaponto.
Pitágoras ejerció una gran influencia en Platón y en matemáticos y filósofos posteriores. Su influencia tuvo tres vertientes importantes. En primer lugar, la hermandad pitagórica fue la base de la república de Platón, en segundo lugar, las matemáticas se establecieron como los cimientos lógicos de las ciencias y la filosofía. Por último, el alma adquirió importancia como presencia mística del mundo material.
Teorema de BAUDHAYANA o de Pitágoras?:
================================
Baudhyana fue un matemático y sacerdote indio que precedió a Pitágoras en más de tres siglos. Escribió sulbasutras con instruccion es a los védicos sobre la construcción de altares religiosos. Baudhayana proporcionó el primer enunciado del teorema de Pitágoras, que sería más o menos así:
"Una cuerda tensada a lo largo de una diagonal produce un área igual a la que generan conjuntamente los lados vertical y horizontal"
Pero además para hacer justicia, hay prueba de que en territorio chino se conocía -con otro nombre- el Teorema de Pitágoras antes de que naciera Pitágoras. Quizás se le llame así porque Pitágoras, además de levantar una de las primeras pruebas formales, lo popularizó.
Quizás y para hacer justicia, deberíamos llamarlo el teorema de Baudhayana y no de Pitágoras.
(Extractos de Guía amena de Matemáticas - Fundamentos de Geometría)
Este teorema ya forma parte de la cultura popular, hasta el extremo de que lo cita el Mayor General en "Los piratas de Penzance", el espantapájaros de "El Mago de Oz" y hasta Homero en "Los Simpson". De hecho, se dice que Pitágoras forma parte de nuestra psique.
Pitágoras fue un filósofo místico y un matemático, de origen griego, demás fue un carismático líder que logró reunir seguidores en una secta secreta. Vivió en torno al siglo V antes de Cristo. Creía que los números tenían propiedades místicas y mágicas sobre las cuales se podía meditar para después recibir de ellos una revelación.
Su método de enseñanza era oral y no existen documentos escritos contemporáneos lo cual debió acrecentarse por la naturaleza secreta de su colectivo. Lo que se sabe de Pitágoras se debe a Cicerón y a otros autores que escribieron sobre su obra varios siglos después de su muerte.
Biografía de Pitágoras:
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Pitágoras y sus seguidores formaron una hermandad exclusiva con prácticas religiosas secretas. Era una especie de institución académica que incluía a mujeres y hombres, y en la que se compartían las propiedades Los miembros juraban votos de orden. Existía un círculo interno de "aprendices" y uno externo de "oyentes".
Los primero tenían acceso a las ideas de Pitágoras, mientras que los segundos recibían resúmenes. Comían en grupos de a 10 y participaban en ejercicios diarios y actividades musicales. El célebre cuadro de Rafael sobre la escuela de Atenas aporta una visión de esta hermandad, cuya exclusividad seguramente provocó envidias en Crotona hasta el punto que Pitágoras finalmente tuvo que huir. Se creen que murió en Metaponto.
Pitágoras ejerció una gran influencia en Platón y en matemáticos y filósofos posteriores. Su influencia tuvo tres vertientes importantes. En primer lugar, la hermandad pitagórica fue la base de la república de Platón, en segundo lugar, las matemáticas se establecieron como los cimientos lógicos de las ciencias y la filosofía. Por último, el alma adquirió importancia como presencia mística del mundo material.
Teorema de BAUDHAYANA o de Pitágoras?:
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Baudhyana fue un matemático y sacerdote indio que precedió a Pitágoras en más de tres siglos. Escribió sulbasutras con instruccion es a los védicos sobre la construcción de altares religiosos. Baudhayana proporcionó el primer enunciado del teorema de Pitágoras, que sería más o menos así:
"Una cuerda tensada a lo largo de una diagonal produce un área igual a la que generan conjuntamente los lados vertical y horizontal"
Pero además para hacer justicia, hay prueba de que en territorio chino se conocía -con otro nombre- el Teorema de Pitágoras antes de que naciera Pitágoras. Quizás se le llame así porque Pitágoras, además de levantar una de las primeras pruebas formales, lo popularizó.
Quizás y para hacer justicia, deberíamos llamarlo el teorema de Baudhayana y no de Pitágoras.
(Extractos de Guía amena de Matemáticas - Fundamentos de Geometría)
Edhitorial: Ecosistema Aula o el Laberinto del Amor
Gregory Bateson, pensador inglés influyente en Francisco Varela, decía que "cuando se levanta un hacha por sobre un árbol, estamos activando una mente MAYOR ....
Supo esbozar una visión de mente trascendente, donde se interconectan todas las mentes.
Igual sucede en el aula.
El aula es un ecosistema multifactorial, preñado de infinitas mentes (nosotros(as), los abuelos y abuelas, las madres y los padres, los hermanos y hermanas .... tantas esperanzas ....).
Y es por ello que Varela nos aclara que "INTELIGENCIA ha pasado de ser la capacidad para resolver un problema a la capacidad para ingresar a un mundo compartido".
El aula es por otra parte, el laberinto del amor y sólo el amor es la llave o clave para el camino. Si uno entra al aula privilegiando su ego, si uno entra creyendo ser EL factor determinante, se habrá desbarajustado y hecho desaparecer las magia que permite recorrer el laberinto.
Sólo saber que educar es un acto de humildad inseparable de ser educado a la vez e inextricablemente conectado con lo político, nos abre las puertas para dejar en el pasado la rigidez que nos permite pasar del "laberinto de la soledad" al "LABERINTO del AMOR".
Supo esbozar una visión de mente trascendente, donde se interconectan todas las mentes.
Igual sucede en el aula.
El aula es un ecosistema multifactorial, preñado de infinitas mentes (nosotros(as), los abuelos y abuelas, las madres y los padres, los hermanos y hermanas .... tantas esperanzas ....).
Y es por ello que Varela nos aclara que "INTELIGENCIA ha pasado de ser la capacidad para resolver un problema a la capacidad para ingresar a un mundo compartido".
El aula es por otra parte, el laberinto del amor y sólo el amor es la llave o clave para el camino. Si uno entra al aula privilegiando su ego, si uno entra creyendo ser EL factor determinante, se habrá desbarajustado y hecho desaparecer las magia que permite recorrer el laberinto.
Sólo saber que educar es un acto de humildad inseparable de ser educado a la vez e inextricablemente conectado con lo político, nos abre las puertas para dejar en el pasado la rigidez que nos permite pasar del "laberinto de la soledad" al "LABERINTO del AMOR".
Teorema de los Infinitos Monos
El teorema de los infinitos monos afirma que es practicamente seguro que un mono que pulse teclas a azar del teclado de una máquina de escribir durante un período de tiempo infinito escriba un texto finito particular, como El Quijote. Tomemos como única frase: "En un lugar de la mancha", ¿Cuánto tiempo tardaría un mono es escribir esta frase? Asumamos como en las máquinas tradicinales que hay 93 caracteres en un teclado. La frase en cuestión tiene 24 caracteres, contando los espacios entre palabras. Si la probabilidad de darle a una tecla correctamente es 1/93, entonces la probabilidad de que el mono escriba correctamente la frase con sus 24 caracteres es: (1/93)(1/93)(1/93) ...... (1/93), es decir, (1/93) mutiplicado por si mismo 24 veces. Esta es una probabilidad baja pero posible.
El matemático francés Émile Borel habló de los monos dactilógrafos (los que escriben a máquina) en un ártículo en 1913, en el que divagó la posibilidad de que un millón de monos escribiendo a máquina durante 10 horas al día crearan libros en una biblioteca. Otro ejemplo: mil monos escribiendo letras al azar a un ritmo de 100 caracteres por minuto podrían probablemente escribir la palabra «banana» en unas seis semanas.
Prevalencia de las Operaciones - 4to en adelante
En un cuaderno de 5to. año ....
TITULADO: Análisis de un Problema.
AE: Analizar un problema para su solución.
Problema del día:
(2) A María le pidieron resolver 6 + 4 x 2. Ella lo resolvió así:
6 + 4x2 = 10x2 = 20
¿Lo hizo correctamente? Explica por qué.
Respuesta: No, primero se hace la multiplicación y después la suma. El orden correcto sería: 8+6=14
=========================================================================
Análisis:
La respuesta es correcta, sin embargo la frase matemática final, puede ser mejorada.
Esta frase dice: "El orden correcto sería: 8+6 = 14"
Sabemos que la suma es conmutativa, pero sería mejor -INICIALMENTE- preservar el orden y decir así:
El orden correcto sería: 6+4x2=6+8=14
Cuando ya la prevalencia ha sido dominada, el orden ya no tiene importancia ....
sábado, 16 de agosto de 2014
Frases matemáticas que INDUCEN a error - Esto es muy común en el aula matemática .... (De 4to. Básico en adelante)
Ayudé a un chico que está en 5to. Básico ....
Lo que ven arriba es común en las aulas matemáticas ....
El educador plantea una "frase matemática" que INDUCE a ERROR, un error que puede ser destructivo en otros contextos ....
¿De qué se trata el ejercicio?
1) Es un producto de 4 factores (,2,3,50) = 9x2x3x50, propuesto para incentivar Cálculo Mental.
2) ¿Cuál es la idea? Calcular el resultado pero usando un ATAJO (un truco) .... esto es muy importante y está MUY sugerido por el MINEDUC, incluso en los programas hay listados de atajos.
3) Todos(as) sabemos que la multiplicación es Conmutativa, es decir, que no importa el orden de los factores, que el resultado será el mismo si por ejemplo hago: 9x2x3x50 que si hago: 9x3x2x50
4) ¿ Y para qué sirve ponerlo así ?
PORQUE 2x50 = 100, y multiplicar por 100 es muy fácil, pues en este contexto significará agregar 2 ceros al otro producto, veamos:
9x2x3x50=
9x3x2x50
9x3x100
27x100
Multiplicar por 100 un número Natural, lleva a agregar 2 ceros a la derecha, o sino, haga ud. la multiplicación y verificará ....
2.700
(Esta es la idea) ... Bakán,
¿pero y el error de que hablas, Claudio?
5) Veamos el error .... en la fotocopia, impreso, dice la siguiente frase:
9x2x3x50 = 2x50 = 100
Esta frase es ERRÓNEA!
todos(as) entendemos lo que se quiso decir:
que vamos a multiplicar 2x50 como atajo!, porque eso ayuda
Pero analicemos la frase:
pedimos a través del papá, que cuidaran de estas frases matemáticas que inducen a error ....
Aprender es aprender en comunidad !!!!
viernes, 15 de agosto de 2014
Lagunas de Números Primos - Maravilloso! (Matemáticas Geniales)
Lagunas de números PRIMOS (Precioso !)
Editado de Matemática ... ¿Estás ahí?, x Adrián Paenza.
LAGUNAS de números PRIMOS.
Uno de los problemas más interesantes de la matemática es tratar de descubrir un patrón en la distribución de los números primos. Es decir: ya sabemos que son infinitos.
Miremos ahora los primeros cien números naturales. En este grupo hay 25 que son primos (aparecen en rojo). Es fácil encontrar tres números consecutivos que no sean primos: 20, 21, 22. Hay más en la lista, pero no importa. Busquemos ahora una tira de cuatro números consecutivos que no sean primos: 24, 25, 26, 27 sirven (aunque todavía está el 28 para agregar a la lista). Y así siguiendo, uno puede encontrar “tiras” de números (consecutivos) de manera tal que sean “no primos” o “compuestos”.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12, 13, 14,15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.
La pregunta es: las tiras, ¿pueden tener cualquier longitud? Es decir: si yo quiero encontrar diez números consecutivos tal que ninguno sea primo, ¿la podré encontrar? ¿Y si quiero encontrar cien seguidos, todos compuestos? ¿Y mil?
Lo que quiero tratar de contestar es que, en verdad, uno puede “fabricarse” tiras de números consecutivos tan grande comouno quiera, de manera que ninguno de ellos sea un número primo. Este hecho es bastante singular, teniendo en cuenta que el número de primos es infinito. Sin embargo, veamos cómo hacer para demostrarlo.
Primero, quiero dar aquí una notación que es muy útil y muy usada en matemática: se llama factorial de un número n, y se escribe n!, al producto de todos los números menores o iguales que n.
Por ejemplo:
1! = 1 (y se lee, el factorial de 1 es igual a 1)
2! = 2 . 1 = 2 (el factorial de 2 es igual a 2)
3! = 3 . 2 . 1 = 6 (el factorial de 3 es igual a 6)
4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1= 3.628.800
Como se ve, el factorial va aumentando muy rápidamente. En general,
n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3)… 4 . 3 . 2 . 1
Ahora bien: es bueno notar (e importante que ustedes lo piensen) que el factorial de un número n es, en realidad, un múltiplode n y de todos los números que lo preceden.
Es decir:
3! = 3 . 2, es un múltiplo de 3 y de 2
4! = 4 . 3 . 2, es un múltiplo de 4, como de 3, como de 2
5! = 5 . 4 . 3 . 2 = es un múltiplo de 5, de 4, de 3 y de 2.
Luego,
n! es un múltiplo de n, (n-1), (n-2), (n-3),…, 4, 3 y de 2.
Una última cosa antes de construir “tiras” de números compuestos o “no primos”. Si dos números son pares, su suma es par. O sea, si dos números son múltiplos de 2, la suma también. Si dos números son múltiplos de 3, la suma también. Si dos números son múltiplos de 4, la suma también. ¿Descubren la idea general? Si dos números son múltiplos de k, entonces la suma es también múltiplo de k (para cualquier k) (les propongo que hagan ustedes la demostración, que es muy fácil).
Resumo:
a) el factorial de n (o sea, n!) es múltiplo del número n y de todos los números menores que n;
b) si dos números son múltiplos de k, entonces la suma también.
Ahora, vamos a la carga.
Como entrenamiento, voy a hacer algunos ejemplos con la idea de que quien esté leyendo esto sienta que puede “conjeturar” la forma de hacerlo en general. Busquemos, sin necesidad de mirar en la tabla de los primos y “no primos” o compuestos, tres números compuestos consecutivos:
4! + 2
4! + 3 (*)
4! + 4
Estos tres números son consecutivos. Ahora descubramosque, además, son compuestos.
Miremos el primero: 4! + 2. El primer sumando, 4! es múltiplo de 2 (por la parte a). Por el otro lado, el segundo sumando, 2, es obviamente múltiplo de 2. Luego, por la parte b), la suma de los dos números (4! + 2) es múltiplo de 2.
El número 4! + 3 está compuesto de dos sumandos. El primero, 4!, por la parte a), es múltiplo de 3. Y el segundo sumando, 3, es también múltiplo de 3. Por la parte b) entonces, la suma (4! + 3) es múltiplo de 3.
Miremos ahora los primeros cien números naturales. En este grupo hay 25 que son primos (aparecen en rojo). Es fácil encontrar tres números consecutivos que no sean primos: 20, 21, 22. Hay más en la lista, pero no importa. Busquemos ahora una tira de cuatro números consecutivos que no sean primos: 24, 25, 26, 27 sirven (aunque todavía está el 28 para agregar a la lista). Y así siguiendo, uno puede encontrar “tiras” de números (consecutivos) de manera tal que sean “no primos” o “compuestos”.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12, 13, 14,15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.
La pregunta es: las tiras, ¿pueden tener cualquier longitud? Es decir: si yo quiero encontrar diez números consecutivos tal que ninguno sea primo, ¿la podré encontrar? ¿Y si quiero encontrar cien seguidos, todos compuestos? ¿Y mil?
Lo que quiero tratar de contestar es que, en verdad, uno puede “fabricarse” tiras de números consecutivos tan grande comouno quiera, de manera que ninguno de ellos sea un número primo. Este hecho es bastante singular, teniendo en cuenta que el número de primos es infinito. Sin embargo, veamos cómo hacer para demostrarlo.
Primero, quiero dar aquí una notación que es muy útil y muy usada en matemática: se llama factorial de un número n, y se escribe n!, al producto de todos los números menores o iguales que n.
Por ejemplo:
1! = 1 (y se lee, el factorial de 1 es igual a 1)
2! = 2 . 1 = 2 (el factorial de 2 es igual a 2)
3! = 3 . 2 . 1 = 6 (el factorial de 3 es igual a 6)
4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1= 3.628.800
Como se ve, el factorial va aumentando muy rápidamente. En general,
n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3)… 4 . 3 . 2 . 1
Ahora bien: es bueno notar (e importante que ustedes lo piensen) que el factorial de un número n es, en realidad, un múltiplode n y de todos los números que lo preceden.
Es decir:
3! = 3 . 2, es un múltiplo de 3 y de 2
4! = 4 . 3 . 2, es un múltiplo de 4, como de 3, como de 2
5! = 5 . 4 . 3 . 2 = es un múltiplo de 5, de 4, de 3 y de 2.
Luego,
n! es un múltiplo de n, (n-1), (n-2), (n-3),…, 4, 3 y de 2.
Una última cosa antes de construir “tiras” de números compuestos o “no primos”. Si dos números son pares, su suma es par. O sea, si dos números son múltiplos de 2, la suma también. Si dos números son múltiplos de 3, la suma también. Si dos números son múltiplos de 4, la suma también. ¿Descubren la idea general? Si dos números son múltiplos de k, entonces la suma es también múltiplo de k (para cualquier k) (les propongo que hagan ustedes la demostración, que es muy fácil).
Resumo:
a) el factorial de n (o sea, n!) es múltiplo del número n y de todos los números menores que n;
b) si dos números son múltiplos de k, entonces la suma también.
Ahora, vamos a la carga.
Como entrenamiento, voy a hacer algunos ejemplos con la idea de que quien esté leyendo esto sienta que puede “conjeturar” la forma de hacerlo en general. Busquemos, sin necesidad de mirar en la tabla de los primos y “no primos” o compuestos, tres números compuestos consecutivos:
4! + 2
4! + 3 (*)
4! + 4
Estos tres números son consecutivos. Ahora descubramosque, además, son compuestos.
Miremos el primero: 4! + 2. El primer sumando, 4! es múltiplo de 2 (por la parte a). Por el otro lado, el segundo sumando, 2, es obviamente múltiplo de 2. Luego, por la parte b), la suma de los dos números (4! + 2) es múltiplo de 2.
El número 4! + 3 está compuesto de dos sumandos. El primero, 4!, por la parte a), es múltiplo de 3. Y el segundo sumando, 3, es también múltiplo de 3. Por la parte b) entonces, la suma (4! + 3) es múltiplo de 3.
El número 4! + 4 está compuesto también por dos sumandos. El primero, 4! por la parte a), es múltiplo de 4. Y el segundo sumando, 4, es también múltiplo de 4. Por la parte b) entonces, la
suma (4! + 4) es múltiplo de 4.
En definitiva, los tres números que aparecen en (*) son consecutivos y ninguno de los tres puede ser primo, porque el primero es múltiplo de 2, el segundo de 3 y el tercero de 4.
Con la misma idea, construyamos ahora diez números consecutivosque no sean primos, o bien construyamos diez númerosconsecutivos que sean compuestos.
Entonces procedemos así:
11! + 2 (es múltiplo de 2)
11! + 3 (es múltiplo de 3)
11! + 4 (es múltiplo de 4)
11! + 5 (es múltiplo de 5)
11! + 6 (es múltiplo de 6)
11! + 7 (es múltiplo de 7)
11! + 8 (es múltiplo de 8)
11! + 9 (es múltiplo de 9)
11! + 10 (es múltiplo de 10)
11! + 11 (es múltiplo de 11)
Estos diez números son consecutivos y compuestos. Luego, cumplen con lo pedido. Si ahora yo les pidiera que ustedes fabricaran cien números consecutivos compuestos, ¿lo podrían hacer? Yo estoy seguro de que sí, siguiendo la idea de los dos ejemplos anteriores.9 En general, si uno tiene que fabricar n números consecutivos compuestos, hace lo siguiente:
(n+1)! + 2
(n+1)! + 3
(n+1)! + 4
(n+1)! + 5
…
(n+1)! + n
(n+1)! + (n+1)
Estos números son n (y les pido que los cuenten, háganme caso, porque no los veo muy convencidos…) y son consecutivos; además, el primero es múltiplo de 2, el siguiente de 3, el siguiente de 4, y así siguiendo, hasta el último que es múltiplo de (n+1).
Es decir, esta lista cumple con lo que queríamos: hemos encontrado n números consecutivos compuestos.
MORALEJA: esto demuestra que si uno empieza a trabajar con números grandes, muy grandes, aparecen muchos muchos (y no hay error de imprenta… son muchos en serio) números compuestos. Pero, a la vez, esto dice que se pueden encontrar lagunas de primos. O sea, una laguna es un segmento de los números naturales en donde no hay ningún primo. Creo que después de la explicación de más arriba, ustedes están en condiciones de aceptar cualquier desafío de encontrar lagunas (tan grandes como les sean propuestas).
11! + 2 (es múltiplo de 2)
11! + 3 (es múltiplo de 3)
11! + 4 (es múltiplo de 4)
11! + 5 (es múltiplo de 5)
11! + 6 (es múltiplo de 6)
11! + 7 (es múltiplo de 7)
11! + 8 (es múltiplo de 8)
11! + 9 (es múltiplo de 9)
11! + 10 (es múltiplo de 10)
11! + 11 (es múltiplo de 11)
Estos diez números son consecutivos y compuestos. Luego, cumplen con lo pedido. Si ahora yo les pidiera que ustedes fabricaran cien números consecutivos compuestos, ¿lo podrían hacer? Yo estoy seguro de que sí, siguiendo la idea de los dos ejemplos anteriores.9 En general, si uno tiene que fabricar n números consecutivos compuestos, hace lo siguiente:
(n+1)! + 2
(n+1)! + 3
(n+1)! + 4
(n+1)! + 5
…
(n+1)! + n
(n+1)! + (n+1)
Estos números son n (y les pido que los cuenten, háganme caso, porque no los veo muy convencidos…) y son consecutivos; además, el primero es múltiplo de 2, el siguiente de 3, el siguiente de 4, y así siguiendo, hasta el último que es múltiplo de (n+1).
Es decir, esta lista cumple con lo que queríamos: hemos encontrado n números consecutivos compuestos.
MORALEJA: esto demuestra que si uno empieza a trabajar con números grandes, muy grandes, aparecen muchos muchos (y no hay error de imprenta… son muchos en serio) números compuestos. Pero, a la vez, esto dice que se pueden encontrar lagunas de primos. O sea, una laguna es un segmento de los números naturales en donde no hay ningún primo. Creo que después de la explicación de más arriba, ustedes están en condiciones de aceptar cualquier desafío de encontrar lagunas (tan grandes como les sean propuestas).
Tendencias en el Universo: ENTROPÍA - Metálogo de Bateson: ¿Por qué se desordenan las cosas? - Toda la Comunidad
Una de las tendencia del Universo es el aumento de la entropía, es decir, el viaje natural del orden al desorden .... la verdad es que el flujo contrario también se produce, pero el costo es la inversión de ENERGÍA ....
(Tomado de "Pasos hacia una Ecología de la Mente" -
Imperdible Metálogo para un ser de ESTE presente)
Este MAGISTRAL diálogo entre un padre (Gregory Bateson) y una hija (su hija Mary Catherine Bateson), nos muestra claramente esta tendencia .... Un metálogo es una palabra que va más allá de la propia palabra .... algo así como que si en este diálogo hablamos de entropía, entonces la estructura del propio diálogo debe dar cuenta de ello, ser entrópica ....
(Tomado de "Pasos hacia una Ecología de la Mente" -
Imperdible Metálogo para un ser de ESTE presente)
METALOGO
PAPITO, ¿POR QUÉ SE DESORDENAN LAS COSAS?
de Gregory Bateson
PAPITO, ¿POR QUÉ SE DESORDENAN LAS COSAS?
de Gregory Bateson
Hija: Papá ¿ Por qué se desordenan las cosas?
Padre: ¿Qué quieres decir? ¿Cosas? ¿Desordenarse?
Hija: Bueno, la gente gasta mucho tiempo ordenando cosas, pero nunca se la ve gastar tiempo revolviéndolas. Las cosas parecen desordenarse por sí mismas. Y entonces la gente tiene que ordenarlas otra vez.
Padre: ¿Pero tus cosas también se desordenan si no las tocas?
Hija: No, si nadie me las toca. Pero si tú me las tocas ?o si alguna otra persona las toca- se desordenan, y el revoltijo si no soy yo la que las toca.
Padre: Si, por eso no te dejo tocar las cosas de mi escritorio. Porque el revoltijo de mis cosas es peor si las toca alguien que no soy yo.
Hija: ¿Entonces la gente siempre desordena las cosas de otros? ¿Por qué lo hacen papá?
Padre: Bueno, espera un poco. No es tan sencillo. Ante todo, ¿a qué llamas revoltijo?
Hija: Cuando... cuando no puedo encontrar las cosas y todo parece revuelto. Lo que sucede cuando nada está en su lugar...
Padre: Bueno, pero ¿estás segura de que llamas revoltijo a lo mismo que cualquiera otra persona llamaría así?
Hija: Pero papá, estoy segura... porque no soy una persona muy ordenada y si yo digo que las cosas están revueltas, estoy segura de que cualquiera otra persona estará de acuerdo conmigo.
Padre: Muy bien, ¿pero estás segura de que llamas ?ordenado? a lo que otras personas llamarían así?. Cuando tu mamá ordena tus cosas, ¿sabes dónde encontrarlas?
Hija: A veces, porque, sabes, yo sé dónde pone ella las cosas cuando ordena.
Padre: Es cierto: yo también trato de evitar que arregle mi escritorio. Estoy seguro de que ella y yo no entendemos lo mismo por "ordenado".
Hija: Papá, ¿te parece que yo y tú entendemos lo mismo por "ordenado"
Padre: Lo dudo, querida, lo dudo.
Hija: Pero papá, ¿no es raro que todos quieran decir lo mismo cuando dicen "desordenado" y cada uno quiere algo diferente cuando dice "ordenado". Porque "ordenado" es lo opuesto que "desordenado", ¿no?
Padre: Estamos entrando a preguntas más difíciles. Comencemos de nuevo desde el principio. Tu dijiste: "¿Por qué siempre se desordenan las cosas?". Ahora hemos dado uno o dos pasos más... y cambiemos la pregunta en: ¿Por qué las cosas se ponen en un estado que Caty llama de desordenadas?. ¿Te das cuenta por qué quiero hacer el cambio?
Hija: ... Me parece que sí... porque si yo le doy significado especial a "ordenado", entonces el "orden" de otras personas me parecerán revoltijos a mí, aunque estemos de acuerdo en la mayor parte de lo que llamamos "revoltijos"...
Padre: Efectivamente. Veamos ahora qué es lo que tú llamas "ordenado". Cuando tu caja de pinturas está colocada en un lugar ordenado, ¿dónde está?
Hija: Aquí, en la punta de este estante.
Padre: De acuerdo. ¿Y si estuviera en algún otro lado?
Hija: No, entonces no estaría ordenada.
Padre: ¿Y si la ponemos en la otra punta del estante, aquí?
Hija: No, ése no es el lugar que le corresponde, y además tendría que estar derecha, no toda torcida, como la pones tú.
Padre: ¡Ah!... en el lugar acertado y derecha.
Hija: Sí.
Padre: Bueno, eso quiere decir que sólo existen muy pocos lugares que son "ordenados" para tu caja de pintura...
Hija. Un lugar solamente.
Padre: No, muy pocos lugares, porque si la corro un poquito, por ejemplo, así, sigue ordenada.
Hija: Bueno... pero pocos, muy pocos lugares.
Padre: De acuerdo, muy pocos lugares. ¿Y qué pasa con tu osito de felpa y tu muñeca y el Mago de Oz y tu suéter y tus zapatos? ¿No pasa lo mismo con todas las cosas, que cada una tiene sólo muy, muy pocos lugares que son "ordenados" para ella?
Hija: Sí, Papá, pero el Mago de Oz puede ir en cualquier lugar del estante. ¿Sabes una cosa? Me molesta mucho, pero mucho, cuando mis libros se mezclan con tus libros y los libros de mami.
Padre: Sí, ya lo sé. (Pausa).
Hija: Papá, no terminaste lo que estabas diciendo. ¿Por qué mis cosas se ponen de la manera que yo digo que no es ordenada?
Padre: Pero sí que terminé... precisamente porque hay más maneras que tú
llamas "desordenadas" que las que llamas "desordenadas".
Hija: Pero esa no es una razón para...
Padre: Te equivocas, lo es. Y es la verdadera y única y muy importante razón.
Hija: ¡Ufa, papá, basta con eso!
Padre: No, no bromeo. Esa es la razón y toda la ciencia ensamblada mediante esta razón. Tomemos otro ejemplo. Si pongo un poco de arena en el fondo de esta taza y encima de ella pongo un poco de azúcar y lo revuelvo con una cucharilla, la arena y el azúcar se mezclarán, ¿no es cierto?
Hija: Sí, pero papá, ¿te parece bien pasar a hablar de "mezclado" cuando comenzamos hablando de "desordenado"
Padre: Es que... bueno... me parece que sí... Sí, porque supongamos que encontramos a alguien que piensa que es más ordenado colocar toda la arena debajo de todo el azúcar. Y, si quieres, no tengo inconveniente en decir que yo pienso de esa manera...
Hija: ¿Si...?
Padre: Está bien, tomemos otro ejemplo. Algunas veces, en el cine, tú ves un montón de letras del alfabeto, desparramadas por todas partes en la pantalla, hechas un revoltijo y algunas hasta patas arriba. Y entonces alguien sacude la mesa donde están las letras y éstas comienzan a moverse y luego, a medida que las siguen sacudiendo, las letras se reúnen y forman el título de la película.
Hija: Sí, las vi... lo que formaban era DONALD.
Padre: No tiene importancia lo que formaban. El asunto es que tu viste que algo era sacudido y batido, y en vez de quedar más mezclado que antes, las letras se reunieron en un orden, todas de pie y formaron una palabra... formaron algo que la mayoría de las personas estará de acuerdo en que tiene sentido.
Hija: Sí, papá, pero sabes que...
Padre: No, no lo sé; lo que trataba de decir es que en el mundo real de las cosas nunca suceden de esa manera. Eso pasa sólo en las películas.
Hija: Pero, papá...
Padre: Te digo que solo en las películas se pueden sacudir cosas y éstas parecen adquirir más orden y sentido del que tenían antes...
Hija: Pero, papá...
Padre: Esta vez déjame terminar... Y en el cine, para que las cosas parezcan así, lo que hacen es filmar todo al revés. Ponen todas las letras en orden para que se lea DONALD, las filman y luego comienzan a sacudir la mesa.
Hija: ¡ Pero si ya lo sé, papá! Y eso era lo que quería decirte. Y cuando proyectan la película la pasan hacia atrás, y parece como si todo hubiera pasado hacia
adelante, pero en realidad sacudieron las letras después de ordenarlas. Y las tienen que fotografiar patas arriba... ¿Por qué lo hacen?.
Padre: ¡Santo cielo!
Hija: ¿Por qué tienen que poner la cámara cabeza abajo, papá?
Padre: No te voy a responder ahora esa pregunta porque estamos en el medio de la pregunta sobre los revoltijos.
Hija:¡Ah, es verdad! Pero no te olvides, papito, que otro día me tienes que responder la pregunta sobre la cámara boca abajo. ¡No te olvides!. ¿Verdad que no te vas a olvidar, papá?. Porque a lo mejor yo me olvido. Sé buenito, papá.
Padre: Bueno, sí, pero otro día. ¿En qué estábamos? Ah, sí en que las cosas nunca suceden hacia atrás. Y trataba de explicarte por qué hay una razón de que
las cosas sucedan de cierta manera si podemos mostrar que esa manera tiene más maneras de suceder que alguna otra manera.
Hija: Papá, no empieces a decir tonterías.
Padre: No estoy diciendo tonterías. Empecemos de nuevo. Hay una sola manera de escribir DONALD. ¿Estas de acuerdo?
Hija: Sí.
Padre: Magnífico. Y hay millones y millones y millones de manera de esparcir seis letras sobre una mesa. ¿De acuerdo?
Hija: Sí. Me parece que sí. ¿Y algunas de esas pueden ser patas arriba?
Padre: Sí. Exactamente como en ese revoltijo en que estaban en la película. Pero pueden haber millones de revoltijos como ése, ¿no es verdad?. ¿Y uno solo de ellos forma la palabra DONALD?
Hija: De acuerdo, sí. Pero, papito, las mismas letras podrán formar OLD DAN.
Padre: No te preocupes. Los que hacen las películas no quieren que las letras formen OLD DAN sino DONALD.
Hija: ¿Y por qué?
Padre: ¡Deja tranquilos a los que hacen las películas!
Hija: Pero fuiste tú el que habló de ellos, papá.
Padre: Sí, bueno, pero era para tratar de decirte por qué las cosas suceden de aquella manera en las que hay mayor número posible de maneras de que suceda. Y ya es hora de irse a la cama.
Hija: ¡Pero, papá, si no terminaste de decirme por qué las cosas suceden de esa manera, de la manera que tiene más maneras!
Padre: Está bien. Pero no pongas más motores en funcionamiento... con uno basta y sobra. Además, estoy cansado de DONALD. Busquemos otro ejemplo. Hablemos de tirar monedas a cara o sello.
Hija: Papá, ¿estás hablando de la misma pregunta por la que comenzamos, la de "por qué se desordenan las cosas"
Padre: Sí.
Hija: ¿Entonces, papá, lo que tratas de decirme sirve para las monedas, para DONALD, para el azúcar y la arena y para mi caja de pinturas y para las monedas?
Padre: Sí, efectivamente.
Hija: ¡Ah, bueno, es que me lo estaba preguntando!
Padre: Bueno, a ver si esta vez logro acabar de decirlo. Volvamos a la arena y el azúcar y supongamos que alguien dice que poner la arena en el fondo de la taza es "arreglado" u "ordenado"
Hija: ¿Hace falta que alguien diga algo así para que puedas seguir hablando de cómo se mezclarán las cosas cuando las revuelvas?
Padre: Sí... Ahí está precisamente el punto. Dicen lo que esperan que suceda y luego yo les digo que no sucederá porque hay tal cantidad de otras cosas que podrían suceder. Y yo sé que es más probable que suceda una de las muchas cosas y no de las pocas.
Hija: Papá, tú no eres más que un viejo que hace libros, que apuesta a todos los caballos menos al único al que quiero apostar yo.
Padre: Es cierto, querida. Yo les hago apostar según lo que llaman la manera "ordenada" -sé que hay infinitamente muchas maneras desordenadas- y por eso las cosas siempre se encaminarán hacia el revoltijo y la mixtura.
Hija: ¿Pero por qué no lo dijiste al comienzo, papá? Yo lo hubiera podido entender perfectamente.
Padre: Supongo que sí. De todas maneras, es hora de irse a la cama.
Hija: Papá ¿por qué los grandes hacen la guerra, en vez de sólo pelear, como hacen los chicos?
Padre: Nada, a dormir. Ya terminé contigo. Hablaremos de la guerra otro día.
Padre: ¿Qué quieres decir? ¿Cosas? ¿Desordenarse?
Hija: Bueno, la gente gasta mucho tiempo ordenando cosas, pero nunca se la ve gastar tiempo revolviéndolas. Las cosas parecen desordenarse por sí mismas. Y entonces la gente tiene que ordenarlas otra vez.
Padre: ¿Pero tus cosas también se desordenan si no las tocas?
Hija: No, si nadie me las toca. Pero si tú me las tocas ?o si alguna otra persona las toca- se desordenan, y el revoltijo si no soy yo la que las toca.
Padre: Si, por eso no te dejo tocar las cosas de mi escritorio. Porque el revoltijo de mis cosas es peor si las toca alguien que no soy yo.
Hija: ¿Entonces la gente siempre desordena las cosas de otros? ¿Por qué lo hacen papá?
Padre: Bueno, espera un poco. No es tan sencillo. Ante todo, ¿a qué llamas revoltijo?
Hija: Cuando... cuando no puedo encontrar las cosas y todo parece revuelto. Lo que sucede cuando nada está en su lugar...
Padre: Bueno, pero ¿estás segura de que llamas revoltijo a lo mismo que cualquiera otra persona llamaría así?
Hija: Pero papá, estoy segura... porque no soy una persona muy ordenada y si yo digo que las cosas están revueltas, estoy segura de que cualquiera otra persona estará de acuerdo conmigo.
Padre: Muy bien, ¿pero estás segura de que llamas ?ordenado? a lo que otras personas llamarían así?. Cuando tu mamá ordena tus cosas, ¿sabes dónde encontrarlas?
Hija: A veces, porque, sabes, yo sé dónde pone ella las cosas cuando ordena.
Padre: Es cierto: yo también trato de evitar que arregle mi escritorio. Estoy seguro de que ella y yo no entendemos lo mismo por "ordenado".
Hija: Papá, ¿te parece que yo y tú entendemos lo mismo por "ordenado"
Padre: Lo dudo, querida, lo dudo.
Hija: Pero papá, ¿no es raro que todos quieran decir lo mismo cuando dicen "desordenado" y cada uno quiere algo diferente cuando dice "ordenado". Porque "ordenado" es lo opuesto que "desordenado", ¿no?
Padre: Estamos entrando a preguntas más difíciles. Comencemos de nuevo desde el principio. Tu dijiste: "¿Por qué siempre se desordenan las cosas?". Ahora hemos dado uno o dos pasos más... y cambiemos la pregunta en: ¿Por qué las cosas se ponen en un estado que Caty llama de desordenadas?. ¿Te das cuenta por qué quiero hacer el cambio?
Hija: ... Me parece que sí... porque si yo le doy significado especial a "ordenado", entonces el "orden" de otras personas me parecerán revoltijos a mí, aunque estemos de acuerdo en la mayor parte de lo que llamamos "revoltijos"...
Padre: Efectivamente. Veamos ahora qué es lo que tú llamas "ordenado". Cuando tu caja de pinturas está colocada en un lugar ordenado, ¿dónde está?
Hija: Aquí, en la punta de este estante.
Padre: De acuerdo. ¿Y si estuviera en algún otro lado?
Hija: No, entonces no estaría ordenada.
Padre: ¿Y si la ponemos en la otra punta del estante, aquí?
Hija: No, ése no es el lugar que le corresponde, y además tendría que estar derecha, no toda torcida, como la pones tú.
Padre: ¡Ah!... en el lugar acertado y derecha.
Hija: Sí.
Padre: Bueno, eso quiere decir que sólo existen muy pocos lugares que son "ordenados" para tu caja de pintura...
Hija. Un lugar solamente.
Padre: No, muy pocos lugares, porque si la corro un poquito, por ejemplo, así, sigue ordenada.
Hija: Bueno... pero pocos, muy pocos lugares.
Padre: De acuerdo, muy pocos lugares. ¿Y qué pasa con tu osito de felpa y tu muñeca y el Mago de Oz y tu suéter y tus zapatos? ¿No pasa lo mismo con todas las cosas, que cada una tiene sólo muy, muy pocos lugares que son "ordenados" para ella?
Hija: Sí, Papá, pero el Mago de Oz puede ir en cualquier lugar del estante. ¿Sabes una cosa? Me molesta mucho, pero mucho, cuando mis libros se mezclan con tus libros y los libros de mami.
Padre: Sí, ya lo sé. (Pausa).
Hija: Papá, no terminaste lo que estabas diciendo. ¿Por qué mis cosas se ponen de la manera que yo digo que no es ordenada?
Padre: Pero sí que terminé... precisamente porque hay más maneras que tú
llamas "desordenadas" que las que llamas "desordenadas".
Hija: Pero esa no es una razón para...
Padre: Te equivocas, lo es. Y es la verdadera y única y muy importante razón.
Hija: ¡Ufa, papá, basta con eso!
Padre: No, no bromeo. Esa es la razón y toda la ciencia ensamblada mediante esta razón. Tomemos otro ejemplo. Si pongo un poco de arena en el fondo de esta taza y encima de ella pongo un poco de azúcar y lo revuelvo con una cucharilla, la arena y el azúcar se mezclarán, ¿no es cierto?
Hija: Sí, pero papá, ¿te parece bien pasar a hablar de "mezclado" cuando comenzamos hablando de "desordenado"
Padre: Es que... bueno... me parece que sí... Sí, porque supongamos que encontramos a alguien que piensa que es más ordenado colocar toda la arena debajo de todo el azúcar. Y, si quieres, no tengo inconveniente en decir que yo pienso de esa manera...
Hija: ¿Si...?
Padre: Está bien, tomemos otro ejemplo. Algunas veces, en el cine, tú ves un montón de letras del alfabeto, desparramadas por todas partes en la pantalla, hechas un revoltijo y algunas hasta patas arriba. Y entonces alguien sacude la mesa donde están las letras y éstas comienzan a moverse y luego, a medida que las siguen sacudiendo, las letras se reúnen y forman el título de la película.
Hija: Sí, las vi... lo que formaban era DONALD.
Padre: No tiene importancia lo que formaban. El asunto es que tu viste que algo era sacudido y batido, y en vez de quedar más mezclado que antes, las letras se reunieron en un orden, todas de pie y formaron una palabra... formaron algo que la mayoría de las personas estará de acuerdo en que tiene sentido.
Hija: Sí, papá, pero sabes que...
Padre: No, no lo sé; lo que trataba de decir es que en el mundo real de las cosas nunca suceden de esa manera. Eso pasa sólo en las películas.
Hija: Pero, papá...
Padre: Te digo que solo en las películas se pueden sacudir cosas y éstas parecen adquirir más orden y sentido del que tenían antes...
Hija: Pero, papá...
Padre: Esta vez déjame terminar... Y en el cine, para que las cosas parezcan así, lo que hacen es filmar todo al revés. Ponen todas las letras en orden para que se lea DONALD, las filman y luego comienzan a sacudir la mesa.
Hija: ¡ Pero si ya lo sé, papá! Y eso era lo que quería decirte. Y cuando proyectan la película la pasan hacia atrás, y parece como si todo hubiera pasado hacia
adelante, pero en realidad sacudieron las letras después de ordenarlas. Y las tienen que fotografiar patas arriba... ¿Por qué lo hacen?.
Padre: ¡Santo cielo!
Hija: ¿Por qué tienen que poner la cámara cabeza abajo, papá?
Padre: No te voy a responder ahora esa pregunta porque estamos en el medio de la pregunta sobre los revoltijos.
Hija:¡Ah, es verdad! Pero no te olvides, papito, que otro día me tienes que responder la pregunta sobre la cámara boca abajo. ¡No te olvides!. ¿Verdad que no te vas a olvidar, papá?. Porque a lo mejor yo me olvido. Sé buenito, papá.
Padre: Bueno, sí, pero otro día. ¿En qué estábamos? Ah, sí en que las cosas nunca suceden hacia atrás. Y trataba de explicarte por qué hay una razón de que
las cosas sucedan de cierta manera si podemos mostrar que esa manera tiene más maneras de suceder que alguna otra manera.
Hija: Papá, no empieces a decir tonterías.
Padre: No estoy diciendo tonterías. Empecemos de nuevo. Hay una sola manera de escribir DONALD. ¿Estas de acuerdo?
Hija: Sí.
Padre: Magnífico. Y hay millones y millones y millones de manera de esparcir seis letras sobre una mesa. ¿De acuerdo?
Hija: Sí. Me parece que sí. ¿Y algunas de esas pueden ser patas arriba?
Padre: Sí. Exactamente como en ese revoltijo en que estaban en la película. Pero pueden haber millones de revoltijos como ése, ¿no es verdad?. ¿Y uno solo de ellos forma la palabra DONALD?
Hija: De acuerdo, sí. Pero, papito, las mismas letras podrán formar OLD DAN.
Padre: No te preocupes. Los que hacen las películas no quieren que las letras formen OLD DAN sino DONALD.
Hija: ¿Y por qué?
Padre: ¡Deja tranquilos a los que hacen las películas!
Hija: Pero fuiste tú el que habló de ellos, papá.
Padre: Sí, bueno, pero era para tratar de decirte por qué las cosas suceden de aquella manera en las que hay mayor número posible de maneras de que suceda. Y ya es hora de irse a la cama.
Hija: ¡Pero, papá, si no terminaste de decirme por qué las cosas suceden de esa manera, de la manera que tiene más maneras!
Padre: Está bien. Pero no pongas más motores en funcionamiento... con uno basta y sobra. Además, estoy cansado de DONALD. Busquemos otro ejemplo. Hablemos de tirar monedas a cara o sello.
Hija: Papá, ¿estás hablando de la misma pregunta por la que comenzamos, la de "por qué se desordenan las cosas"
Padre: Sí.
Hija: ¿Entonces, papá, lo que tratas de decirme sirve para las monedas, para DONALD, para el azúcar y la arena y para mi caja de pinturas y para las monedas?
Padre: Sí, efectivamente.
Hija: ¡Ah, bueno, es que me lo estaba preguntando!
Padre: Bueno, a ver si esta vez logro acabar de decirlo. Volvamos a la arena y el azúcar y supongamos que alguien dice que poner la arena en el fondo de la taza es "arreglado" u "ordenado"
Hija: ¿Hace falta que alguien diga algo así para que puedas seguir hablando de cómo se mezclarán las cosas cuando las revuelvas?
Padre: Sí... Ahí está precisamente el punto. Dicen lo que esperan que suceda y luego yo les digo que no sucederá porque hay tal cantidad de otras cosas que podrían suceder. Y yo sé que es más probable que suceda una de las muchas cosas y no de las pocas.
Hija: Papá, tú no eres más que un viejo que hace libros, que apuesta a todos los caballos menos al único al que quiero apostar yo.
Padre: Es cierto, querida. Yo les hago apostar según lo que llaman la manera "ordenada" -sé que hay infinitamente muchas maneras desordenadas- y por eso las cosas siempre se encaminarán hacia el revoltijo y la mixtura.
Hija: ¿Pero por qué no lo dijiste al comienzo, papá? Yo lo hubiera podido entender perfectamente.
Padre: Supongo que sí. De todas maneras, es hora de irse a la cama.
Hija: Papá ¿por qué los grandes hacen la guerra, en vez de sólo pelear, como hacen los chicos?
Padre: Nada, a dormir. Ya terminé contigo. Hablaremos de la guerra otro día.
Congruencia e Isometrías - 1ro. Medio
Resumen Simple Congruencia LINK: Resumen SIMPLE Congruencia
Guía Inicial de Congruencia LINK: Guía Inicial de Congruencia
Guía Congruencia e Isometrías LINK: Guía Congruencia e Isometrías
Una imagen chiquitita de una de las guías, uf que monada!
Guía Inicial de Congruencia LINK: Guía Inicial de Congruencia
Guía Congruencia e Isometrías LINK: Guía Congruencia e Isometrías
Una imagen chiquitita de una de las guías, uf que monada!
Proyecto Pitágoras - 7mo
Matemáticas e Historia:
Bajo el alero del Macro Proyecto de la Escuela Francisco Varela: "Raíces" ....
Proyecto Pitágoras
Bajo el alero del Macro Proyecto de la Escuela Francisco Varela: "Raíces" ....
Proyecto Pitágoras
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